Геодезія 2

динати тільки точки В (випадок І):

1

сіа° _(Х.-ХЛ)-<ІУВ

~{ув-ул)-ахв

с о з 2 а

р"

(ХВ-УАУ

Оскільки: Хв-Хл

=8са&а;

Ув-Ул=8з,та,

то враховуючи це,

1

сіа"

8соза<1¥в-85тасіХв

(II.5.22)

соз2 а

р"

8гьо%га

, .

„ С080Г

„ 8 і п а

,

, „ „ . .

сіа" = р"——Мв

~Р —^Г^в

•

(ІІ.5.23)

о

і

<іа = 8

8

і^-сІХв+^сіУв.

(II.5.25)

=

(ІІ.5.26)

Відповідно, для загального випадку, м а т и м е м о ф о р м у л у :

й

а = М

Л л

М

а х

в

М < І У В .

(И.5.27)

8

8

8

8

Як бачимо з цих формул, щоб знайти

малі зміни д и р е к ц і й н и х

кутів

сіа, необхідно крім зміни координат точок,

щ е

знати д о в ж и н и

ліній

8І та

коефіцієнти (а),, і

(Ь\.

п о я с н е н а в

підрозділі

б у д е з н а й т и

поправки

Роі=<*ОМ-<*«

(2)-

(11.5.28)

Рівнянь (II.5.28) можна записати стільки, скільки виміряних кутів

Д .

З цього ж рисунку, у свою чергу, можна записати:

ам=аом+<іам

(з)

а і = а01

+ сіа1

(4)'

У рівнянні (ІІ.5.28) ам

та

аі

замінимо їх значеннями, у відповідності

з (3) та (4), отримаємо:

Д ~ Рої = аом

+

~

-

~ аом + «о, .

або, після скорочення,

матимемо:

=

(ІІ.5.29)

оскільки під час переміщення точка Р0

в точку

Р

кут

/30і перетвориться в

Д , а різниця зміни дирекційних кутів с!а; та <іам

перетвориться в нуль. У

рівнянні

(ІІ.5.28) Д01

знаходиться,

як

різниця

відомих

дирекційних

кутів

а о м т а

а о і ; Д п о к и

невідома

величина. У

рівнянні

(11.5.29) немає ви-

міряного кута. Позначимо виміряний кут Д'

і

введемо його в

рівняння

(II.5.29), віднявши і додавши його. Отримаємо:

д

- Д ' + Д ' -

Д =, а а м -

а

а

, .

(іі.

Позначимо відому

різницю

Д „ , -Д ' =

.

а

невідому

різницю

Д - Д' = V,., тоді (ІІ.5.30) набуде вигляду рівняння

похибок:

у, =Л*,+ 1 -</«,+/,.

(ІІ.5.31)

Замінимо в формулі

(ГІ.5.31) зміни дирекційних

кутів сІам

та сіа.

(II.5.26), (обернена засічка): під час зміни координат точки Ра,

змінюються

дирекційні кути авМ та аоі:

у < = & с і Х + № С І У - ^ С І Х - & А с і ¥ + Іі ,

(ІІ.5.32)

-,ОУ+1

або

V,- =

•

СІУ + І .

(II.5.33)

еі+І

5,ОІ+1

Позначимо

4

=

(II.5.34)

і ОІ °о/+1)

°в/і. °оі+і ^

Тоді отримаємо скорочений, кінцевий вигляд рівнянь похибок:

=

+

+

(II.5.35)

Таких рівнянь можна записати стільки, скільки виміряних

кутів:

V, = Ахсіх+В1сіу+11

у2 = А2сІх+В2сіу+Іг

у ^ А у с к + В ^ у

+ І!

(ІІ.5.36)

\АА\ІХ

+ [АВ\ІУ + [АЇ\ = 01

(ІІ.5.37)

{АВ\іх+[ВВ\іу+[Ві}=о)'

Знайдемо невідомі сіх та

сіу.

[АВ)[ВІ

~[вв \ЛІ]

[АА\ВВ

-[АВ

АВ]

[АВ][АІ

-\АА

(ІІ.5.38)

[ВІ]

[АА][ВВІ -[АВ

АВ)

Х = Хо + 0,1

(11.5.39)

(ІІ.5.40)

V л - 2

Похибки V, = Д - Д' ( Д -

виправлені, Д' - виміряні кути) знайдуть-

ся за системою рівнянь похибок

(ІІ.5.36). У знаменнику формули (ІІ.5.40),

( п - 2 ) - кількість

надлишкових

виміряних кутів (два необхідних). Квадра-

тичні похибки тх

(Н.5.43)

(4.5.44)

„

ІАА

(11.5.45)

ВВ

З врахуванням (II.5.44) для

РХ маємо:

кутових

засічок

ЇЇ

Н

*а

1

Ц -

£

* £

II

*

1

О .

ліній та похибці

вимірювання кутів. Якщо т"р

= 5",

= 3000

м, тоді

М р = 0 , 1 0 м. Для

оберненої одноразової засічки

оцінити

точність

визна-

понований наступний

метод [28].

Будується

так званий

"зворотний"

трикутник (рис. ІІ.5.7). Для цього обчислюється

величина

(II.5.50)

Значення

г( відкладають по напрямках від точки Р. Отримують на

лініях 5,,

точки

1, 2, 3, що є вершинами

"зворотного"

трикутника.

Довжини сторін

цього

трикутника

сг,, а 2 ,

сг3

вимірюються графічно.

Похибка МР в положенні точки Р визначається за формулою:

,2+СГ22+С732). т напр >

(ІІ.5.51)

де:

тр

(ІІ.5.52)

пКапР -

—

•Я'

тв - похибка вимірювання кутів, т

-

похибка вимірювання

напрямків.

11.5.9. Лінійна

геодезична

засічка

Визначення координат

точки

Р

за координатами двох вихідних (відо-

мих) пунктів А і В та двома

виміряними

віддалями

<іх

та

<1г

від

шуканої

точки

до

вихідних

пунктів

називають

ліній-

ною геодезичною

засічкою.

Розв'язавши обернену

геодезич-

ну

задачу,

за

координатами

точок

А(Ха,¥а)

та В(ХВ,УВ),

визначимо

довжину сторони

АВ=сІ,

та

її

дирек-

Рис. ІІ.5.8. Лінійна геодезична

ційний

кут

аА_в.

Тоді

в

трикутнику

засічка.

АВР

будуть

відомі

усі

три

сторони.

Трикутник

розв'язується.

половинних кутів обчислимо кути трикутника:

С08£=

\«Р-*г).

(II.5.53)

2

\

« Ц

у

^

= ^

•

(II.5.54)

С 0 8 — =

2

\

<*А

5

^

^

•

(II.5.55)

С 0 8 — =

2

^

М г

де р — ^ + +

^1 ~ півпериметр трикутника АВР.

Знаючи

всі шість елементів трикутника АВР, за формулами прямої та

З а л е ж н о від того, тупий чи

гострий

кут

/?, отримаємо

основу

перпенди-

куляра (точку О)

на продовженні лінії ВА,

або на лінії

АВ.

Відрізок

^ -

проекція сІх на

сІ\ ц - сІх со8 р.

Кут

р поки-що неві-

д о м и й .

Я к щ о к у т

Р

гострий,

матимемо:

(і2

= сі2

+ с/,2 -2сІц.

(11.5.56)

Я к щ о к у т

Р

тупий, то:

сі?

=с!1

+ <ії-гсІЧ.

(ІІ.5.57)

В н а ш о м у випадку Р

гострий кут. Тому маємо:

Л Ч С / , 2 - ^ 2

8

4

2А

З п р я м о к у т н о г о трикутника АРИ можемо записати:

к =

=«/, 8іп/? .

(ІІ.5.59)

О с к і л ь к и

Н -

СІХ 8ІП Р , то

Р = агсзіп — .

(Н.5.60)

Д и р е к ц і й н и й

кут ал_в

буде дорівнювати:

аА_Р = ал_в±р.

(И.5.61)

З н а к к у т а

/?

вибирається залежно від того, ліворуч чи праворуч

роз-

т а ш о в а н а т о ч к а

Р відносно

лінії АВ. Праворуч "+ Р ", ліворуч

"- /?". В

на-

ш о м у в и п а д к у -

ліворуч .

11.5.10. Визначення

координат

двох точок

за

відомими

координатами двох інших точок (задача

Ганзена)

Допустимо,

координати

точок полігонометрії

Рх та

Р2

необхідно

одночасно визначити відносно

координат п у н к т і в Тх

т а

Т2

тріангуляції.

серед них є

розв'язок, який можна назвати методом у м о в н о г о

б а з и с у .

Суть цього методу полягає в тому, іцо

д о в ж и н у

лінії

Рх-Р2

умовно

приймають за одиницю. Потім,

за в и м і р я н и м и к у т а м и

Д ,

Д 2 ,

Д ,

Д та,

вважаючи лінію Рх-Р2

відомою, рівною

Ь0,

р о з в ' я з у в а н н я м трикутників

ТХР2РХ та Т2 Р2 Рх визначають сторони 5,',

5'2,

53 ',

.

Т,

Ь

Ь

Р,

Ь0=1

Р2

Рис. ІІ.5.9. Визначення

к о о р д и н а т д в о х

т о ч о к .

=

Ьо.

_

Ьо

« М з

з і п [ І 8 0 ° - ( Д

+ Р 2 + Д ) ] '

8ІП(Дз +

Д 4 )

8 І П [ і 8 0 °

- ( Д 2

+ Д 3

+ Д 4 ) ]

.(Ц.5.64)

Я

5ІП(Д, + Д 2 )

$ і п [ І 8 0 °

- (Ді +

+

А ) ] ' 5 І П А

5ш[і80°

- < ф г

+ Д 3

+ Д 4 ) [

Оскільки, в кожному

з двох т р и к у т н и к і в 7] Т2 Рх

т а Тх Т2 Р2

відомі дві

сторони та кути між ними

Д

та Д 4 , то ці т р и к у т н и к и

р о з в ' я з у ю т ь с я ,

Можна

знайти

третю

сторону та

два

інших

кути.

З н а й д е м о

т а к о ж

к у т и

ер

та Я.

Тепер

у нас

є

можливість

два

рази, з

к о н т р о л е м ,

з н а й т и д о в ж и н у

Ь

в цій

умовній одиниці довжин. Позначимо цю умовну довжину

Ь'. З трикутників

Т{ Тг Р[ та Г, 7*2 Рг, відповідно

маємо:

Ь'

_ 5[

Ь'

. - А

(II.5.65)

ЗІпД

8ІпЯ

зіп

зіп (р

лінії Ь та її дирекційний кут ми можемо визначити за координатами

пунктів

Т{ та Т2.

З відношення

Ь до Ь' ми знайдемо

дійсну довжину лінії

Р,-Р2 .

Позначимо ц ю довжину 5 :

5 = -Ь'

( І І . 5 . 6 6 )

Тепер у нас є всі необхідні дані, щоб знайти дирекційні кути і фак-

тичну довжину всіх чотирьох ліній:

=

* ї ї ;

~ 82' 8 \ =

• 5 \ 5^ =

* 5 .

Залишається за довжинами ліній та дирекційними кутами визначити

прирости координат,

а потім і координати точок Р{ та

Рг. Координати кож-

11.5.11. Прив'язування

пунктів

полігонометрії

до постійних

об'єктів

місцевості.

Відшукування

полігонометричних

пунктів

Від

прокладення

полігоно-

метричної

мережі

д о

її

викорис-

тання

д л я

топознімання

може

пройти декілька років, і, якби фун-

даментально не

закріплювались

пункти, все ж знайти їх на міс-

цевості буває д у ж е важко. Головна

мета

п р и в ' я з у в а н н я

пунктів

до

р

р.+і

р^2

постійних предметів, як вже від-

значалося,

забезпечити їх

знаход-

Р и с - П - 5 Л 0 - Прив'язування до фасаду

ження.

С п о с о б и

такого

прив'я-

оудинку.

Прив'язування до фасадів будинків

Я к щ о полігонометричний хід проходить біля

постійних предметів,

тоді п р и в ' я з у в а н н я виконують переважно

лінійними

вимірюваннями -

ру-

летками . Наприклад, якщо маємо ІМИ5-

цегляну або кам'яну споруду

(бу-