19.Мода,медиана,моменты,ассиметрия,эксцесс

Модой дискретной СВ называется её наиболее вероятное значение,модой непрерывной СВ-значение аргументаx,при котором её плотность распределения(x) максимальна.Медианой СВназывается значение аргументаx, при котором(x)=0,5.Начальным моментом порядкаNСВназывается=M,ацентральным моментом порядкаN-=M.В случае многомерных СВсмешанным начальным моментом порядка NСВназываетсяM,где-целые неотрицательные числа .Смешанным центральным моментом порядкаNназывается

M.

Основные свойства дисперсии:

дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx0;

дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

для произвольной константы D(cx) =c2D(x);

дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x±h) =D(x) +D(h).

Моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величиныxназывается математическое ожиданиеk-й степени случайной величиныx, т.е.ak=Mxk.

Центральным моментом k-го порядка случайной величиныxназывается величинаmk, определяемая формулойmk=M(x-Mx)k.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a1 =Mx, а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a2 =Mx2 =M(x-Mx)2 =Dx.

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m2=a2-a12,m3 =a3 - 3a2a1 + 2a13.

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x=Mx, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,

где m3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x, от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g= 0. Еслиg(x) > 0, то это означает, что график плотности вероятностейpx(x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если жеg(x) < 0, то “заостренность” графикаpx(x) меньше, чем у нормального распределения.

21.Числовые характеристики системы двух случайных величин .Коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется: r(ξ1, ξ2)=сov(ξ1, ξ 2)/ σ _ξ1*σ_ξ2),σ _ξ1,σ_ξ2≠0-среднее квадратичное отклонение случайных величин.

Свойства :

r(ξ1,ξ1)=1

r(c* ξ1, ξ2)=c* сov(ξ1, ξ 2)/ σ_{c ξ1}*σ_ξ2)=c* сov(ξ1, ξ 2)/c*( σ _ξ1*σ_ξ2)=r(ξ1,ξ2) т.е. коэффициент корреляции безразмерная величина.

r(ξ1,ξ2)=r(ξ2,ξ1)

Если СВ ξ1, ξ 2 независимы, то r(ξ1,ξ2)=0. Обратное верно не всегда, т.е. еслиr(ξ1,ξ2)=0 , то СВ ξ1, ξ 2 могут быть как зависимыми так и независимыми. Исключения составляют случаи, когда ξ1 и ξ 2 имеют нормальное распределение в этом случае еслиr(ξ1,ξ2)=0

То мы можем сделать вывод что ξ1 и ξ 2 независимы.

СВ (ξ1, ξ2) называются не коррелированными, если r(ξ1,ξ2)=0. Т. О из независимости коррелированность следует всегда., а из коррелированности независимость при условии, что СВ имеет нормальное распределение.

І r(ξ1,ξ2)І ≤1.Коэффициент равен ±1 тогда и только тогда когда СВ линейно зависимы. Іr(ξ1,ξ2)=1 следует ξ1=a+b*ξ2 причемr=1 приb›0 иr=-1 приb‹0. Пусть имеются следующие графики на которых точками отмечены пары значений СВ (ξ1,ξ2).

А	б	в
Г

Графики а,б,в,г называются полями корреляции.

Тогда сравнивая представленных четыре случая можно сделать вывод что в а,б, в наблюдается линейная зависимость ξ1, ξ2 причем к случаю в все точки лежат на одной прямой поэтому зависимость строго зависимая. Если сравнивать а и б, то во-первых в случае а мы видим прямую линейную зависимость а в случае б обратную прямую зависимость . во-вторых т. К. точки на графике б сконцентрированы теснее чем на графике а, то линейная зависимость б более тесная чем в а. в случае г по графику наблюдений вывод о зависимости не может быть сделан.выводы по коэффициенту корреляции:

По значению можно сделать следующие выводы:

Rхарактеризует степень линейной зависимости . , чем ближеrк ±1 тем более тесная линейная зависимость между ξ1, ξ2 .

Если r=±1 то зависимость строго линейная .

Если r›0 то говорят о прямой корреляции между СВ т.е . при возрастании значений одной СВ , значения другой так же растут. Еслиr‹0 то говорят об обратной корреляции т.е. при возрастании значений одной СВ , значения другой убывают. еслиr=0 или ІrІ близок к 0 ,то можно сделать вывод об отсутствии линейной зависимости меду СВ , нелинейная зависимость при этом моет быть даже очень тесной . Т.о. для случая , изображенного на графике б), г) ІrІ близок к 0 в случае в) имеет 100% линейную зависимость . в б)r‹0 . В а)r›0 причем Іr_б)І› Іr_а)І

Числовые характеристики: характеристикой зависимости между СВ Х и У служит мат ожидание произведения отклонений Х и У от их центров распределений, которое называется корреляционным моментом или ковариацией. Используют формулу: