- •3. Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •4.Элементы комбинаторики и схемы выбора.
- •5. Геометрическая вероятность. Свойства вероятности.
- •7. Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •8. Схема незовисимых испытаний Бернулли,формула Бернулли.Общая теорема о повторении опытов.
- •9. Общая теорема о повторении опытов. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли. Номер первого успешного испытания.
- •10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Закон больших чисел в форме Бернулли.
- •12. Случайные величины и распределения вероятностей. Свойства функции распределения вероятностей.
- •13.Классификация случайных величин. Дискретные распределения (примеры основных распределений)
- •I.Дискретные распределения
- •14. .Классификация случайных величин. Абсолютно непрерывные распределения(примеры основных распределений).
- •I. . Абсолютно непрерывные распределения.
- •15.Нормальное распределение и его свойства.
- •16.Основные распределения случайных величин, применяемые в статистике.
- •17.Мат.Ожидание и его свойства.
- •18.Дисперсия и её свойства
- •20 Числовые характеристики системы двух случайных величин.Ковариация.
- •19.Мода,медиана,моменты,ассиметрия,эксцесс
- •21.Числовые характеристики системы двух случайных величин .Коэффициент корреляции.
- •22.Определение случайной последовательности . Определение сходимости по вероятности .Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.
- •24.Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых. (цпт)
- •25.Определение и описание случайного процесса
- •26.Статистические средние характеристики случайных процессов(сп).
- •27.Стационарные случайные процессы(сп)
- •28.Предмет мат. Статистики
- •29.Средние величины
- •30. Показатели вариации, моменты.
- •31. Статистические оценки параметров распределения. Методы нахождения оценок.
- •32.Метод моментов.
- •34.Интервальные оценки.
17.Мат.Ожидание и его свойства.
Из всех характеристик случайных величин важнейшей является математическое ожидание СВ.
ОПР1:математическим ожиданием дискретной СВ называется величина рассчитываемая по формуле:=
ОПР2: математическим ожиданием непрерывной СВ называется величина рассчитываемая по формуле:=
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ(среднее взвешенное по вероятностям).Физический смысл мат.ожидания:если на невесомом стержне разместить единичную массу, поместив в точке массудля дискретного распределения или размеров(единичную массу с плотностью(x))для непрерывного распределения, то мат.ожидание будет координатой центра тяжести
Свойства мат.ожиданий:
1.=C=const
2.M(C)=C=const(мат.ожидание от постоянной величины = величине самой постоянной)
3.M()=C,где C=const
4.Если ≤b
5.СВ =f(),гдеf-некоторая функция ,то
==
6.Для любых СВ ,M(+-это свойство может быть обобщено на случай трех и более величин,если их число конечно.
7.если независимые СВ ,то=*,это может быть обобщено на случай трех и болеевеличин,если их число конечно.
18.Дисперсия и её свойства
Дисперсией СВ называется число=M
Дисперсия это мера «разброса или рассеивания» распределения СВ вокруг мат.ожидания .Дисперсия равна моменту инерции распределения единичной массы на прямой.
Рассмотрим :=M=M+)=-2+- Упрощенная формула для обозначения дисперсии
=-
Свойства дисперсии :
Основные свойства дисперсии:
дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx0;
дисперсия константы равна нулю, Dc=0;
для произвольной константы D(cx) =c2D(x);
дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x±h) =D(x) +D(h).
1.=const≥0
2.D(C)=0,c=const // D(C)=M=M=M(0)=0
3.D(C*=// D(C*=M=M=M(C())=M=
4.Если ,то дисперсия суммы :D()=M-=
M()-(+2+)=+2+--2-=
=-+-=,т.к.независимы,то 22
5.Дисперсия суммы конечного числа попарно независимых СВ = сумме их дисперсий
+)=
из формулы =Mследует ,что еслиизмеряется в метрах ,например,уровень воды в реке ,тобудет измерятся в.Чтобы привести характеристику рассеивания измерения к единицам измерения СВнужно извлечь из дисперсии корень квадратный.
ОПР1:средним квадратичным отклонением СВ называется величина=+
Формулы для вычисления дисперсии:
1)если -дискретная СВ ,то по формуле =M:
(1) =
(2)=-
Если –непрерывная СВ ,то по определению по формуле=M
ДСВ: =
ИСВ :
=
=M, f(x)=,
=-,,f(x)=
20 Числовые характеристики системы двух случайных величин.Ковариация.
ОПР1:Начальным моментом порядкаkСВназывается величина
ОПР2:центральным моментом порядкаkназывается величина равная=M
Очевидно ,что ,=M=,=M=-=0
ОПР3:ковариацией СВназывается величина
cov()=M=
=M=
-произведени Mмат.ожиданияминус произведения мат.ожиданий .
Свойства ковариаций :
cov()==
cov()= Сcov()
cov()= cov()
если СВ независимы ,то ковариацияcov()=0.Пустьнезависимы,тогда по формуле
cov()=\\(т.к. для независимых СВ)\\
=.
Т.о. ковариация характеризует зависимость случайных величин ,если cov()≠0,то СВ зависимы ,если жеcov()=0,то СВ могут быть как зависимы так и не зависимыми.
|cov()|≤
Т.о. ковариация характеризует зависимость СВ ,однако она не является безразмерной «характеристикой зависимости»,если ,например -температура воздуха, а-влажность воздуха ,тоcov() измеряется в градусах Цельсия ,умноженный на проценты ()иначе говоря при умножении одной из СВна константуCпо свойству 2 ковариация также умножается на это число ,поэтому ,если
cov()=5,аcov()=100,то мы не можем сделать вывод ,что междузависимость больше ,чем между ().Чтобы получить безразмерно характеристику зависимости вводят новую числовую характеристику.