12. Случайные величины и распределения вероятностей. Свойства функции распределения вероятностей.

Очень часто результатом опыта является не событие, а величина (число). Повторяя опыты получаем различные значения этой величины. Например время безотказной работы электроприбора предсказать невозможно, это случайная величина.

Определение 1: под случайной величиной (СВ) понимают такую величину, которая в результате опыта принимает неизвестное заранее значение, причем это значение от опыта к опыту меняется.

Определение 2: функция Fξ(x) распределения случайной величины ξ называется функция:

Fξ(x)=P(ξ<x), т.е. Fξ(x) есть вероятность того, что СВ ξ примет значение меньше некоторого x. Случайные величины будем обозначать греческими буквами ξ, η, ζ, тогда x,y,z, ... это значения СВ.

Функция распределения является самой полной характеристикой СВ. Задать СВ значит задать ее функцию распределения, а все это можно сказать о СВ заключено в ее функции распределения.

Свойства функции распределения вероятностей.

1. Fξ(x) не убывающая функция, т.е. если x₁≤x₂, то Fξ(x₁)≤ Fξ(x₂).

2. Fξ(x) удовлетворяет следующим соотношениям: =0,=1 т.е. из определения и свойства следует, что 0≤Fξ(x) ≤1, x.

3. Функция распределения непрерывна слева, т.е. =Fξ(x₀), любая функция удовлетворяющая свойствам 1-3 будет функцией распределения некоторой СВ.

4. P(a≤ξ≤b)= Fξ(a)- Fξ(b).

13.Классификация случайных величин. Дискретные распределения (примеры основных распределений)

Под законом распределения СВ понимают всякую характеристику из которой по определенным правилам можно получить фу-ю распределения СВ.Все распределения можно поделить на три типа:

1.Дискретные

2.Абсалютно непрерывные

3.Синбулярные

I.Дискретные распределения

Определения:СВ имеет дискретное распределение (является дискретной) если она принимае конечное или счетное множество значений с определенными вероятностями ,т.е. существует конечный или счётный набор значений СВ:

1.=Р()0

2.=1(с-во нармировки ДСВ).ДСВ-дискретная случайная величина. Если число значений СВ конечно,т.е.,то второе свойство выглядит так:

Определения: Таблицей распределения ДСВ называют таблицу вида:

			…….
Р			……..

В верхней строке, которой по возрастанию перечислены значения СВ ,а в нижней вероятности этих значений.

Определения: функция распределения Д СВ определяется по ф-ле:= P()=при

при х,

при.

При х

Примеры основных дискретных распределений.

1.Выражденное распределение в т.а имеет СВ со следующей таблицей распределения:

	а
р	1

Т.е. =а=const

2.Распределение Бернулли с параметром р имеет СВ принимающее значениес вероятностями:

Р(=0)=1-р

Р(=1)=р,тогда таблица распределения имеет вид.

	0	1
р	1-р	р

3.Биноминальное распределение с параметрами n,p,0имеет СВ принимающее значение c вероятностями :

Р ()=,это распределение называется биноминальным,т. К. вероятности этого распределения могут быть получены при разложениипо формулам бинома Ньютона.

4.Геометрическое распределение с параметром р имеет СВ принимающее значениес вероятностями Р ()=римеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р.

5.Распределение Пуассона с параметром ,принимающее значениес вероятностями Р ()=

6.Гипергеометрическое распределение.

Пусть имеется N шаров среди которых M1-бЕлых и М2-черных,тогда М1+М2= N,наудачу извлекают n шаров,тогда СВ имеет смысл число белых шаров среди извлекающих,т.о.принимает значение,с вероятностями Р ()=

Пример: среди 8 часов поступивших в ремонт 2-е с поломкой оси. НА удачу взято 3-е часов. Составить з-н распределения числа часов с поломанной осью среди взятых трёх.

	0	1	2
р

Т.к. 2-е только с поломкой оси.

=Р(==,-все возможные исходы,-т.к.должно равняться 0,то мы 0 часов из=Р(==2 с поломанными осями и останется3-ое из оставшихся

=Р(==Контроль:+=1 Построить ф-ю распределения СВ : = P()=-функция распределения

1. При х0,=0-всегда на первом интервале=0

2. При 0х1 ,=

3. При 1=

4. При х ,=всегда на последнем интервалеF(X)=1