5. Геометрическая вероятность. Свойства вероятности.
Геометр. опред. Вероятности обобщает классическое на случай бесконечной ПЭИ. Пусть ПЭИ Ω Rn
Например Ω представляет собой прямоугольник на плоскости.1) Будем считать, что Ω имеет конечную меру, 2) а вероятность попадания (случайно брошенной) точки в подмножество Ω пропорционально мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы. При выполнении перечисленных предположений говорят, что эксперимент удов. Геометрической вероятностной модели и справедливо след. определению вероятности.
Геометрическое
определение вероятности: вероятность
попадания в область А принадлежащую Ω
при бросании наудачу точки в Ω равна
Р(А)=
µ - мера мн-ва. Пример: Точка наудачу
бросается в большой круг. Определить,
вер-ть того что она попадет в кольцо.
Р(А)=
6.
Условная вероятность. Независимость
событий. Теорема умножения вероятностей.
Предположим, что мы находимся в рамках классической вероятностной модели. Пусть NA и NВ элемент. Исходов, а число всех возможных исходов составляет число N. Предположим, что имеется информ. о том, что событие В произошло. Т.е. наступил один из исходов входящих в В.
Для события А остается благоприятными NAB ЭИ. Поэтому условная вероятность события А при усл., что В произошло равна:
P(A/B) =
PB(A)
=
/
=
;P(A/B)=
(1)
Усл. вероятностью события А при выполнении события В, т.е. Р(В)>0 называется величина Р(А/В), рассчитываемая по ф-ле (1).
Св-ва условных вероятностей:
10 Р(А/А)= 1;
20 Р(Ø/А)=0;
30 Р(В/А)= если А<=B;
40 если В1 и В2 несовместные события, то Р(В1 +В2 /А)=Р(В1/А)+Р(В2/А)
50 Рс чертой(А/В)= 1-Р(А/В)
60 Р(Ω/В)=1=Р(А ᵁ Ā / В)
Независимость событий.
Если А и В два события, то естественно сказать, что В не зависит от А, если знание того обстоятельства, что совершилось А никак не влияет на вероятность совершения В.
P(A/B)=P(B),
тк
P(B/A)=
;
P(AB)=P(A)*P(B)
События А и В назыв. независимыми если Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
События А1,А2,…,Аn назыв. Независимыми в совокупности, если P(A1,A2,…,An)=P(A1)*…*P(An)
События А1,А2,…,Аn называются попарно независимыми, если Р(AiAj)=Р(Ai)Р(Aj), для всех i=j, i,j от 1 до n
Замечание: Из независимости в совокупности следует попарная независимость. обратное следует не всегда. Пример: на плоскость бросается тэтраэдр, 3 грани кот. Окрашены в красный, синий, и зеленый цвета, а на 4 грань нанесены все три цвета.
Рассмотрим события: при бросании тэтр., выпала грань, содержащая А=красный, В=зеленый, С=синий. Покажем, что эти события попарно независимы:
P(AB)=P(A)*P(B)=1/4, P(AC)=P(A)*P(C)=1/4, P(BC)=P(B)*P(C)=1/4
Покажем, что эти события не явл независимыми в совок:
P(ABC)=1/4 но не = P(A)P(B)P(C)= 1/8
Замечание: далее под словом независимость будем понимать независимость в совокупности.
Из опр. Условной вероятности следует(т.е. ф(1)):
P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B/A) (2)
Ф-лу 2 называют ф-лой умножения вероятностей.
Т(умножение вероятностей для n событий)
Если события А1,А2,…,Аn таковы, что Р(А1*А2*…*Аn-1)>0, то Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*Р(А2)
Пример: на карточках имеются буквы слова МАТЕМАТИКА. Наугад выбирают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получить слово ТЕМА:
Р(ТЕМА)=Р(Т)*Р(Е/ТЕ)*Р(А/ТЕМ)
Рассмотрим независимое событие А1,А2,…,Ан. Получим ф-лу для расчета вероятности наступления хотябы одного из событий. Пусть А= наступит хотябы 1 из событий А1,А2,…,Ан
A=A1ᴜA2ᴜ…ᴜAn
Тогда в соответствие с законами Моргана:
Ā= Ā 1*Ā2*…* Ān
Если А1,А2,…,Аn независимы, то события Ā 1*Ā2*…* Ānтак же независимы, то Р(Ā) =Р(Ā 1*Ā2*…* Ān)
P(A)= 1-P(Ā) (3)
3 – упрощенная ф-ла для расчета вероятности хотя бы 1 из nнезависимых событий.
Замечание(о связи м-ду совместными и зависимыми событиями): 1 если АиВ несовместные события Р(А) не = 0, Р(В) не = 0, то они обязательно зависимые. 2 если АиВ совместные события, то они могут быть как зависимые так и не зависимые. 3. Если АиВ зависимые события то они мб как совместными так и не совместными. Замечание: ф-ла умножения для независимых событий имеет вид:
P(A1*A2*…*An)=P(A1)*…*P(An)
А ф-ла сложения вероятностей несовместных событий имеет вид:
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+…+P(An)