30. Показатели вариации, моменты.

Средние величины не отражают изменчивости (вариации) зна­чений признака.

Простейшим показателем вариации является вариационный

размах R =х_тах - x_min .

Наибольший интерес представляет мера рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической — дисперсия.

Дисперсией (выборочной дисперсией) вариационного ряда называется величина

При расчете дисперсии и других числовых характеристик интервальных рядов в качестве , также используют середины интервалов. Часто для вычисления дисперсии используют упрощенную формулу:

D_в= -

где

Если признак ξ измеряется в метрах, то, очевидно, его диспер­сия - в метрах квадратных. Желательно в качестве меры вариации иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и значе­ния признака. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение:

=

Отношение среднего квадратического отклонения к средней ве­личине признака, выраженное в процентах, называют коэффициен­том вариации:

ν = ∙100%

Если коэффициент вариации признака, принимающего только положительные значения, высок (например, более 100 %), то, как правило, это свидетельствует о неоднородности значений признака.

Выборочная дисперсия обладает свойствами, аналогичными свойствам дисперсии случайной величины. Отмстим следующие: 1. (C) = 0, C = const;

2. (Cx) = C²(x), C = const;

3. (C+x) = (x),C = const;

4. Если выборкиX иY независимы, то(х + у) =(х) + (y).

Пример 13.1. Вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации напряжения тока в электросети для примера 11.1.

Решение.

Вычислим дисперсию по упрощенной формуле = - .

=(106²+ 107²∙3 + 108²∙4+I09²∙6 + 110²∙8 +111²∙5 + 112²∙2 + + 113²)=11992,9.

D= 11992,9 - 109,5²= 2,65.

Среднее квадратичеcкое отклонение= =1,63. Вариация

v = ∙ 100 % = 1,49 %.

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда явля­ются частными случаями более общего понятия - выборочных (эмпи­рических) моментов.

Начальный момент _k k-го порядка вариационного ряда оп­ределяется по формуле:

Центральный момент _k k-го порядка вариационного ряда определяется по формуле:

Очевидно, что ₁=,₁ = 0,₂ =

Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число

Если s= 0 , то распределение имеет симметричную форму, то сеть варианты, равноудаленные от, имеют одинаковую частоту. Приs > 0 (s < 0) говорят о положительной (отрицательной) или пра­восторонней (левосторонней) асимметрии.

Эксцессом вариационного ряда называется число

Эксцесс является показателем крутости кривой распределения вари­ационного ряда по сравнению с нормальным распределением, дисперсия которого равна . Приx= 0 распределение нормальное. Еслиx> 0,то кривая распределения имеет более острую вершину, чем при нормальном распределении, еслиx< 0 - более плоскую.

Пример 13.2. Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс распределения напряжения тока в электросети для примера 11.1.

Решение. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков:

Тогда s=== -0,9;x=- 3 =- 3 = - 0,44

Поскольку найденные показатели близки к нулю, то можно сделать вы­вод, что рассматриваемое в примере 11.1 распределение по асиммет­рии и крутости приближается к нормальной кривой.

Вычисление выборочной средней и дисперсии можно упростить, если использовать не первоначальные варианты x_i, а новые варианты

=

где С и k- специально подобранные постоянные. Тогда согласно свойствам средней арифметической и дисперсии

==, следовательно =к+С ,

(u) ==, следовательно(x) = k²D_в(u).

Данный метод дает существенное упрощение в случае больших значений x_i . В качестве постояннойк рекомендуется брать величи­ну интервала поx, а в качествеС - варианту, имеющую наиболь­шую частоту (середину интервала, имеющего наибольшую частоту).