- •3. Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •4.Элементы комбинаторики и схемы выбора.
- •5. Геометрическая вероятность. Свойства вероятности.
- •7. Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •8. Схема незовисимых испытаний Бернулли,формула Бернулли.Общая теорема о повторении опытов.
- •9. Общая теорема о повторении опытов. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли. Номер первого успешного испытания.
- •10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Закон больших чисел в форме Бернулли.
- •12. Случайные величины и распределения вероятностей. Свойства функции распределения вероятностей.
- •13.Классификация случайных величин. Дискретные распределения (примеры основных распределений)
- •I.Дискретные распределения
- •14. .Классификация случайных величин. Абсолютно непрерывные распределения(примеры основных распределений).
- •I. . Абсолютно непрерывные распределения.
- •15.Нормальное распределение и его свойства.
- •16.Основные распределения случайных величин, применяемые в статистике.
- •17.Мат.Ожидание и его свойства.
- •18.Дисперсия и её свойства
- •20 Числовые характеристики системы двух случайных величин.Ковариация.
- •19.Мода,медиана,моменты,ассиметрия,эксцесс
- •21.Числовые характеристики системы двух случайных величин .Коэффициент корреляции.
- •22.Определение случайной последовательности . Определение сходимости по вероятности .Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.
- •24.Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых. (цпт)
- •25.Определение и описание случайного процесса
- •26.Статистические средние характеристики случайных процессов(сп).
- •27.Стационарные случайные процессы(сп)
- •28.Предмет мат. Статистики
- •29.Средние величины
- •30. Показатели вариации, моменты.
- •31. Статистические оценки параметров распределения. Методы нахождения оценок.
- •32.Метод моментов.
- •34.Интервальные оценки.
29.Средние величины
Средние величины характеризуют значения признака, вокруг которых концентрируются наблюдения. Наиболее распространенной из средних величин является средняя арифметическая.
Средней арифметической (выборочной средней) вариационного ряда называется величина:
где - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда,- соответствующие им частоты,
Для несгруппрированного ряда все частоты = 1, а
есть «невзвешенная» средняя арифметическая.
Пример 12.1. Найти среднее напряжение тока в электросети для примера 11.1.
Решение.
=(106∙1 + 107∙3 + 108∙4 + 109∙6 +110∙8 +
+ 111∙5+112∙2+113∙1) = 109,5.
Отметим основные свойства выборочной средней, аналогичные свойствам математического ожидания случайной величины:
1. = С, еслиС = const;
2. = С, С =const;
3. =+ С, С =const;
4. = +.
Кроме рассмотренной средней арифметической, в статистическом анализе применяются структурные средние - медиана и мода.
Медианой Me вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.
Для дискретного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов - полусумме двух серединных вариантов. Например, для примера 11.1
Me = (+) =(110 +110) = 110.
Для интервального ряда сначала находят медианный интервал =), на который приходится середина ряда. Номер его будет соответствовать интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:
В случае выполнения равенства в предыдущей формуле номер медианного интервала равен l, в противном случае -l + 1. Медиану вычисляют по формуле
Ме = + ∆.
Здесь l- порядковый номер интервала, где находится медиана, ∆ - величина медианного интервала,
- частота медианного интервала.
При получении медианы ряд разбивается на 2 равные части. Если ряд разбить на 4 части, то получатся квартили (q1, q2, q3), на 10 частей -децили. Второй квартильq2 равен медиане,aq1, q3вычисляются аналогично медиане с учетом разбиения.
Модой Мо вариационного ряда называется варианта, которой соответствует наибольшая частота. Например, в примере 11.1
Mo= 110.
Если распределение интервальное, то определяется модальный интервал ), которому соответствует наибольшая частота
, мода вычисляется но формуле:
Mo = + ∆,
где ,- частоты предмодального и послемодального интервалов.
Пример 12.2. Обследование качества пряжи дало следующие результаты, представленные в таблице. Найти моду и медиану этого распределения.
Прочность нити, г |
Частота |
Накопленная частота |
120 - 140 |
1 |
1 |
140 - 160 |
6 |
7 |
160 - 180 |
19 |
26 |
180 - 200 |
58 |
84 |
200 - 220 |
53 |
137 |
220 - 240 |
24 |
161 |
240 - 260 |
16 |
177 |
260 - 280 |
3 |
180 |
∑ |
180 |
|
Решение. Так как наибольшая частотаmMo = 58 отвечает интервалу 180 -200, то, = 180,=19,тl+1 = 53, ∆ = 20 . Мода равна:
Mo = 180 + 20= 197,73 .
Определим номер медианного интервала:
Следовательно, номер медианного интервала 5, а сам интервал 200 - 220. Тогда получаем
Me = 200 + 20= 202,26.