24.Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых. (цпт)

ЦПТ посвящена установлению условий при которых возникает самый распространенный в случайных явлениях нормальный закон распределения. Пусть ξ1, ξ 2 …-последовательность независимых СВ, говорят, что для этой последовательности выполняется ЦПТ если для всех Х справедливо следующее предельное соотношение для сумм S_n= ξ1 + ξ2 + ξn. СоотношениеФ^*(х), где Ф^*(х)=1/dt. так как Ф^*(х) это функция распределенияN(0,1) т.е. стандартного нормального распределения, то указанная сходимость означает→N(0,1) приn→∞ илиSnприn→∞N(M(Sn)D(Sn)),- функция распределенияF_Sn-M(Sn)(х) .

Суть: если число СВ не ограниченно растет, то согласно ЦПТ при некоторых ограничениях независимо от закона распределения слагаемых сумма этих СВ имеет нормальное распределение, поэтому теория ошибок измерений на основании ЦПТ пользуется нормальным законом ошибок

Теорема: пусть ξ1, ξ 2… - последовательность независимых одинаково распределённых СВ с конечной дисперсией … тогда при N→равномерно относительно Х:

Р () приn→∞ Ф^*(х), для всех Х.

25.Определение и описание случайного процесса

Случайные процессы являются удобной математической моделью функции времени значения которых есть случайные величины,т.е СП(случайный процесс)-это случайная функция времени .Например: число заявок поступивших в единицу времени на телефонную станцию(являясь случайной величиной зависит от времени),расход электроэнергии в единицу времени,т.о. СП-это семейство случайных величин,зависящих от времени.СП будем обозночать ξ(t),ɳ(t),tϵT(время). ξ(1) ϵХ, Х-множество возможных значений СП.При фиксированном моменте времени t=t₁ получим случайную величину ξ(t₁),которую называют сечением случайного процесса в момент времени t.Если зафиксировать случайную составляющую,т.е. ω ϵΩ≤Х,то получим не случайную функцию времени,которую называют реализацией случайного процесса.Расмотрим сечение СП в момент времени t₁,т.е. ξ(t₁).Функция F(x₁,t₁)<P(ξ(t₁)<x₁) носит название одномерной функцией распределения СП в момент времени t₁.Если зафиксировать два момента времени t₁ и t₂ ,то вероятность совместного выполнения неравенств ξ(t₁)<x₁ и ξ(t₂)<х₂, задает двумерную функцию распределения СП F(x₁,t₁,;x₂,t₂)<P(ξ(t₁)<x₁, ξ(t₂)<x₂).И вообще n сечений СП описываются n-мерной функцией распределения F(x₁,t₁;x₂,t₂;…;х_n,t_n)< P(ξ(t₁)<x₁, ξ(t₂)<x₂,…, ξ(t_n)<x_n) (1).Считают,что СП задан если задано семейство функций распределения (1) для любого n.Функция (1) удовлетворяет всем свойствам функции распределения.Иногда СП задают плотностью распределения вероятностей если р(x₁,t₁;x₂,t₂;…;х_n,t_n),это n-мерная плотность распределения вероятностей,т.о.

26.Статистические средние характеристики случайных процессов(сп).

Во многих случаях определить конечно мерное распределения СП затруднительно,тогда предстовляет интерес более сжатая характеристика распределения,отражающая основное свойства СП.Рассмотрим такие характеристики.

Определение 1: Средним значением СП m_ξ(t)=M_ξ(t) или моментной функцией называют мат.ожидание сечения СП в момент времени t, m_ξ(t)=M(ξ(t))=.В общем случаи среднее значение СП это функция времени.

Определение 2:Дисперсией СП называется дисперсия сечения СП в момент времени t. Д_ξ(t)= Д(ξ(t))=M(ξ(t)-M_ξ(t))²=M_ξ(t))²dF(x,t) (2),т.о. дисперсия СП также в общем случае есть функция времени,так же очевидно,что среднее значение и дисперсия СП определяется одномерний функцией распределения.

Определение 3:Корреляционной функцией СП называют мат.ожидание произведений двух сечений СП :R_ξ(t₁,t₂)=M(ξ(t₁),ξ(t₂))=.Очевидно,что R_ξ(t₁,t₂) определяется двумерной функцией распределения.

Определение 4:Функцией ковариацией СП называют K_ξ(t₁,t₂)=Kcov(ξ(t₁),ξ(t₂)).

Определение 5:Коэффициентом корреляции СП называют r_ξ(t₁,t₂)=