7. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Ф-ла полн вер явл основным средством при подсчете вер-тей сложных событий.

Теорема: Пусть Н1,Н2,…,Нn – полная группа событий и событие А содержит их в сумме. Тогда имеет место ф-ла полной вероятности:

P(A)=(1)

Док-во: заметим, что A=AᴒΩ

тк Н1,Н2,…,Нn – попарно несовместны, то АН1,АН2,…,АНn – так же попарно несовм.

Определение: События Н1,Н2,…,Нn, образующие полную группу событий называют гипотезами

Теорема 2: пусть Н1,Н2,…,Нn полная группа событий P(A)>0,тогда условная вероятность гипотезы Hi при условии события А рассчитывается по формуле

P(Hi/A)= =(2)

(2) – ф-ла Байесса

8. Схема незовисимых испытаний Бернулли,формула Бернулли.Общая теорема о повторении опытов.

Несколько испытаний (опытов) называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того какие исходы имели другие опыты.

Схемой Бернули или последовательностью независимых испытаний называют последовательность испытаний удовл. следующим условиям: 1. При каждом испытании различают лишь два исхода – появление некоторого события А, что называют успехом или – не появление события А, что называют неудачей. 2. Испытания явл независимыми. 3 вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна Р(А)= р тогда: Р(Асчертой)=1-Р(А)=1-р=q пример: несколько последовательных бросаний монеты, несколько последовательных выниманий определ. Карты из колоды, при условии что перед каждым выполнением колода перемешивается.

Теорема Бернули: вероятность P_n(m) того , что n испытаниях по схеме Бернули произойдет ровно m успехов, определяется ф-лой:

P_n(m)=C_n^m p^mq^n-m, m= от 0 до n (1)

(1)- Формула Бернули

Пример: производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при этих трех выстрелах мы получим а) ровно два попадания; б) хотя бы одно попадание. n-число испытаний, р-успех, q-не успех. А) Р₃(2)= C₃² p²q¹ =0,441; б) Р₃(1)+ Р₃(2) +Р₃(3)=1- Р₃(0)

Теорема2: пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А в i-ом опыте равна p_i, а не появление 1-p_i=q_i. тогда вероятность того, что в n независимых опытах событие А появится ровно m раз равна коэффициенту при x^m в разложении по степеням х следующего выражения.

φ_n(х)=

9. Общая теорема о повторении опытов. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли. Номер первого успешного испытания.

Пусть производится n-независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие A, причем вероятность появления события A в i-ом опыте равна pi, а не появления qi=1-pi. Тогда вероятность того, что в n-независимых опытов событие A появится ровно m раз равна коэффициенту при в разложении по степенямx следующего выражения:

Пример: производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с разных расстояний. Вероятности попаданий при этих выстрелах соответственно равны p₁=0.1, p₂=0.2, p₃=0.3, p₄=0.4. Найти вероятность одного, двух, трех, четырех и не одного попадания.

=(0.9+0.1x)*(0.8+0.2x)*(0.7+0.3x)*(0.6+0.4x)=0.002+0.04+0.215+0.44x+0.302

P(1)=0.44

P(2)=0.215

P(3)=0.04

P(4)=0.002

P(0)=0.302

Определение: число m₀, при котом вероятность P(m) достигает максимального значения называется наивероятнейшим числом успехов. Наивероятнейшее число успехов определяется как целое число удовлетворяющее неравенству: np-q≤ m₀≤np+p, если (np-q) не принадлежит Z, то наивероятнейших чисел успехов будет 2: m₀=np-q и m₀=np+p.

Пример: схожесть семян некоторого растения составляет 1/3. Определить наиболее вероятное число проросших семян из 50 посаженых.

n=50, p=1/3, q=2/3.

50*1/3-2/3≤ m₀≤50*1/3+1/3

16≤ m₀≤17

m₀₁=16, m₀₂=17.