9.2. Таблица производных:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

- формула нахождения дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функцииотнесенный к точкеравен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой.

9.3. Логарифмическое дифференцирование:

Применяется для нахождения производной:

1. Степенно-показательной функции

2. От произведений и частных, содержащих большое число сомножителей:

.

Алгоритм применения:

Пусть функция положительная и дифференцируема при всех рассматриваемых.

1. Логарифмируем заданное равенство по основанию. Имеем:.

2. Дифференцируем полученное равенство по , учитывая что- независимая переменная, а- функция, тогда:.

3. Результат дифференцирования разрешаем относительно :.

4. Заменяем в последнем равенстве :.

9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:

Пусть как функциязадана неявно, т.е.

Алгоритм:

1. Дифференцируем заданное уравнение по, учитывая, что- независимая переменная,- ее функция.

2. Результат дифференцирования разрешаем относительно искомой производной .

9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:

Пустькак функциязадана параметрически, т.е.

,- дифференцируемы при всех рассматриваемых,и

имеет обратную .

Тогда:

9.6. Производные высших порядков:

Определение:

Производной - го порядка функцииназывается первая производная от

производной порядка:,

1) Пусть как функциязадана неявно, т.е..

Для нахождения - ой производной продифференцируем заданное равенство попоследовательнораз. Результат последнего дифференцирования разрешаем относительнои представляем ее только в переменныхи, для чего результаты всех промежуточных дифференцирований представлять только в переменныхи.

2) Пусть как функциязадана параметрически, т.е.,- дважды дифференцируемы,, функцияимеет обратную.

Тогда: ,

9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:

1) Если при отношение двух функцийдает неопределенность, то предел отношения этих функций можно заменить пределом отношения производных от этих функций:

Замечания:

-Правило Лопиталя остается справедливым для раскрытия неопределенности и при;

-Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, если отношение последовательных производных каждый раз дает неопределенность ;

-Правило Лопиталя применимо лишь в случае, когда существует конечный или бесконечный предел отношения производных, если этот предел не существует, то отсюда не следует, что не существует и предел отношения самих функций.

2) Если при отношение двух функцийдает неопределенность, то предел отношения этих функций можно заменить пределом отношения производных от этих функций:.

Все замечания, сделанные при раскрытии неопределенности остаются справедливыми.

Таблица степени роста при

1.

2.

3.

4. ,- рациональное

5.

3) Неопределенности вида .

Такие неопределенности сводятся к неопределенностям вида и, для чего необходимоилипредставить в виде единой дроби.

4) Неопределенности вида .

Такие неопределенности возникают при нахождении пределов от степенно-показательных функций .

Один из способов раскрытия:

.