3.3. Знакопеременные ряды:

Теорема (общий достаточный признак):

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, то сходится и знакопеременный ряд.

Определение:знакопеременный ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом строго поочередно, называется знакочередующимся.

Теорема (признак Лейбница):

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит абсолютной величины первого члена ряда.

Ряд, отвечающий условиям признака Лейбница, называется лейбницевским.Любой лейбницевский ряд сходится.

Исследование сходимости знакопеременных рядов:

- проверить необходимое условие;

- проверить для ряда условия Лейбница;

- составить ряд из абсолютных величин (если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно; если он расходится, то данный ряд сходися условно)

3.4. Степенные ряды:

Определение:

Ряд, все члены которого являются функциями одного и тогоже аргумента называется функциональным.

Его общий вид: .

Определение:

Функциональный ряд вида , где коэффициенты ряда- любые действительные числа, называется степенным, расположенным по степеням.

Исследование сходимости степенных рядов:

- находим радиус сходимостиили, записываем интервал сходимости;

- проверяем поведение ряда на концах интервала;

- находим область сходимости.

3.5. Ряд Тейлора:

Ряд, стоящий в правой части равентсва называется рядом Тейлора по функции .

При ряд Тейлора принимает вид:

и называется рядом Маклорена.

3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

3.7. Ряды Фурье. Теорема Дирихле.

Определение:

Функция , называется удовлетворяющей условиям Дирихле на, если она на этом отрезке

• непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

• имеет конечное число строгих экстремумов.

Теорема Дирихле(достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье):

Если функция отвечает на отрезкеусловиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем во внутренних точках непрерывности функцииряд сходится к самой функции. В каждой внутренней точке разрывафункцииряд сходится к среднему арифметическому предельных значений этой функции в точкеслева и справа, т.е.. В обеих граничных точкахряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когдастремится к ним изнутри отрезка, т.е..

Алгоритм разложения периодических функции в ряд Фурье на :

- строим график на и с его помощью проверяем выполнение условий Дирихле;

- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;

- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд;

- строим на заданном отрезке график суммы ряда;

- периодически продолжаем грифики функции и суммы на всю числовую ось;

- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;

Аналогично, раскладываются в ряд Фурье периодические функции на ;;.

Алгоритм разложения в ряд Фурье нерериодических функций, заданных на ;по косинусам (по синусам):

- продолжаем функцию четным (нечетным) образом на() и получаем новую функцию;

- строим график и проверяем условия Дирихле;

- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;

- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд ;

- строим на заданном отрезке график суммы ряда;

- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;

Если - общего положения на, то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где;

, где

, где

Если - общего положения на, то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где;

, где

, где

Если - общего положения на, то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где;

, где

, где

Если - четная на, то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где;

, где

Если - нечетная на, то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где, где

При вычислении интегралов, учитываем, что и