16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
Пусть имеет гладкую поверхность
,
соорентируем ее в направлении оси
.
Положим, что в каждой точке этой
поверхности задана непрерывная функция
.
Определение:
Конечный предел интегральной суммы
функции
на поверхности
при
условии, что
и
называется поверхностным интегралом
по координатам
от функции
по поверхности
,
где
-
диаметр частичной поверхности.
Т.о.
,
где
-
площадь проекции частичной поверхности
на
.
Аналогично, определяются поверхностные
интегралы по координатам
.
- составной поверхностный интеграл
по координатам.
Основные свойства:
1). Каждый из поверхностных интегралов по координатам зависит от ориентации поверхности в направлении соответствующей оси, т.е.
2)Если
- цилиндрическая поверхность с образующей,
параллельной оси
,
то
;
3)
, где
- углы, образованные вектором
с соответствующими координатными осями.
16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;
Ориентируем поверхность в направлении этой оси;
3) Уравнение
разрешаем относительно этой переменной,
проецируем
на соответствующую двумерную
плоскость.
4) Переходим к двойному интегралу:
Если такая прямая параллельна оси
,
то уравнение
:
и
.
- формула Остроградского-Гаусса.
- формула Стокса.
2 КУРС
Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
1.1. Основные понятия:
Определение:
Уравнение, содержащее неизвестные функции, их аргументы и производные (дифференциалы) различных порядков от этих функции по своим аргументам называется дифференциальным.
Определение:
Порядком д.у. называется порядок старшей производной или старшего дифференциала функции, входящих в уравнение.
Определение:
Решением д.у. называется всякая функция, обращающая это уравнение в тождество.
Типы дифференциальных уравнений первого порядка:
С разделяющимися переменными:
- разрешенное относительно производной
Алгоритм решения:
- заменяем
на
;
- разделяем переменные: слева с
,
справа с
;
- интегрируем уравнение с разделенными переменными;
- записываем общее решение или общий интеграл.
Частный случай
:
;
.
- в дифференциальной форме.
Метод решения тотже.
Однородные дифференциальные уравнения:
,
где
- разрешенное относительно производной.
Ход решения:
- вводим новую функцию
или
;
- сводим к уравнению с разделяющимися переменными, интегрируем.
(
- однородные функции одного измерения)
– дифференциальная форма.
Линейные дифференциальные уравнения:
Общая форма:
,
где
- непрерывные функции, в частности
постоянные.
Признак:
входят только в первой положительной
степени и нет их произведения
,
- в любой форме.
Ход решения:
- подставляем в данное уравнение
;
- решаем последовательно два д.у. с
разделяющимися переменными: одно д.у.
относительно
,
другое относительно
;
- записываем общее решение (общий интеграл).
Еще одна форма линейного дифференциального
уравнения:
.
Решаются введением
Уравнения Бернулли:
Общий вид -
,
где
-
любой действительное число
,
- непрерывные функции, в частности
постоянные.
Эти уравнения сводят к линейным, поэтому
решение его вида
.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах:
,
где
.
Решение ищем в виде
,
где
и
- из области непрерывности
.