- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
6.4. Случайные величины:
Определение:
Случайной величинойназывается величина, которая в результате ОКУ заведомо принимает одно и только одно из своих возможных числовых значений, причем заранее неизвестно какое именно.
Определение:
Случайная величина, возможные значения которой изолированы друг от друга называется дискретной (ДСВ).
Определение:
Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный, называется непрерывной(НСВ).
Определение:
Всякое соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределенияслучайной величины.
Простейшей формой закона распределения ДСВ является ряд распределения, т.е. таблица, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.
Где
Определение:
Ломаная, соединяющая точки с координатами ,называетсямногоугольником или полигономраспределения ДСВ.
Определение:
Возможное значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность, называется модойэтой случайной величины.
Определение:
Функцией распределенияслучайной величиныназывается вероятность того, что эта случайная величина примет значение меньшее, чем, т.е..
Основные свойства :
- значения функции распределения принадлежат отрезку ;
- функция распределения неубывающая;
- если , тои;
- если возможные значения НСВ принадлежат , то при, а при
.
-вероятность попадания НСВ в интервал любого типа.
Определение:
Предел средней плотности распределения вероятности НСВ в , при условии, что длина этого интервала, называется плотностью распределения вероятности данной случайной величины в точке.
Обозначение: .
для.
Теорема:
Вероятность попадания НСВ в интервалравна определенному интервалу на соответствующем отрезкеот плотности распределения, т.е..
Связь между функцией распределения и плотностью распределенияНСВ:
дляи.
Свойства плотности распределения:
- при;
- ;
6.4. Числовые характеристики случайных величин:
1) Математическое ожидание
Для дискретной случайной величины
Определение:
Сумма произведений всех возможных значений ДСВ на соответствующие им вероятности называется математическим ожиданиемэтой случайной величины.
Т.о. .
Математическое ожидание – константа, имеющая размерность случайной величины.
Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому всех возможных значений данной случайной величины.
Свойства математического ожидания:
- ;
- ;
- для независимых ДСВ;
- для независимых ДСВ;
- .
Для непрерывной случайной величины
.
Вероятностный смысл и свойства ДСВ остаются справедливыми.
2) Дисперия
Определение:
Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания называется дисперсией.
Т.о или.
Дисперсия – константа, имеющая размерность квадрата случай величины.
Дисперсия характеризует степень разброса возможных значений случайной величины относительно ее центра, т.е. МО.
- для ДСВ.
- для НСВ.
Теорема: .
Свойства дисперсии:
- ;
- ;
- для независимых ДСВ;
- для независимых ДСВ.