- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
Для неаналитических
1. ;
2. В частности, если - окружность или любая его часть, то подставивв показательной форме, имеем, что на окружности,()
, где отрезокотвечает заданной части окружности.
Замечание:формулыимеют место только для однозначных или отдельных ветвей многозначных функций.
Для аналитических
3. Теорема Коши(для односвязной области):
Если функция аналитическая в каждой точке областии на ее границе, то.
Теорема Коши(для многосвязной области):
Если функция аналитическая в многосвязной области, границей которой служат кривые, то(все границы области обходятся в одном направлении)
4. ;
5. Контурный интеграл от аналитической функции не зависит от формы кривой интегрирования, но зависит от начальной и конечнойточек пути, т.е..
6. Используя интегральную формулу Коши, имеем:
, где- аналитическая в односвязной областии на ее границе
, где- аналитическая
7.
8. Теорема:
Если функция аналитическая в каждой точке области, ограниченной контуром, за исключением конечного числа изолированных особых точек, лежащих строго внутри области, то справедливо равентство:
.
4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
Определение:
Степенной ряд , коэффициенты которого рассчитываются по формулам
называется рядом Тейлора функции, где- произвольный замкнутый контур, содержащий строго внутри точку.
Определение:
Функциональный ряд вида, где
и
называется рядом Лорана функции или компактная форма
, где
Ряд Лорана состоит из двух частей:
-правильная
-главная часть.
Типы особых точек:
Определение:
Точка называется- кратным нулемфункции, если в разложении Тейлора этой функции в окрестности т.первых коэффициентов равны нулю:, но.
Определение:
Особая точка называетсяизолированной, если существует достаточно малая окрестность этой точки, не содержащая других особых точек данной функции.
Определение:
Точка называетсяособойточкой функции, если в этой точке функция не аналитическая.
Определение:
Точка называетсяустранимой особойточкой, если разложение Лорана этой функции в окрестности этой точки не содержит отрицательных степеней, т.е.
Определение:
Точка называетсяполюсом , если разложение Лорана этой функции имеет конечное число отрицательных степеней, т.е.
.
Если , то-кратный полюс, если, то простой.
Определение:
Точка называетсясущественно особойточкой, если разложение Лорана этой функции содержит бесчисленное множество отрицательных степеней, т.е.
.
Теорема:
- - кратный нуль функцииявляется- кратным полюсом функции;
- - кратный полюс функцииявляется- кратным нулем функции.
Алгоритм определения типа особой точки:
Применить теорему о связи между нулями и полюсами функций;
или
Вычислить ;
или
Воспользоваться определением.