- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
13.1. Основные понятия:
Определение:
Соответствие , при котором каждой паре числовых значений двух независимых друг от друга переменных величинивзятых из области их изменения отвечает одно и только одно числовое значение переменной величины, называют числовой функцией двух переменных.
Обозначение:.
Здесь - аргументы (независимые переменные),- зависимая переменная (функция).
- область определения,- область значений.
Определение:
Совокупность всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению , называют графиком соответствующей функции.Обычно график функциипредставляет собой поверхность, с которой любая прямая параллельная ось,пересекается не более чем в одной точке.
Способы задания:табличный, графически, аналитически.
Определение:
Число А называется пределом функции при стремлении точкик точке, если для любогосуществует: для всех точеккоординаты которых удовлетворяют соотношениямисправедливо неравенство.
Обозначение:или.
Этот предел существует тогда и только тогда, когда по каждому из направлений предел имеет одно и тоже значение.
Определение:
Функция называется непрерывной в точке, если:
- она определена в точке и ее окрестности;
- в точке предел функции равен значению функции в этой точке.
Определение:
Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
13.2. Частные производные:
Определение:
Частной производной функции поназывается предел отношения частного приращения этой функции пок приращению аргументапри условии, чтопроизвольным образом.
Т.о. . Аналогично,.
Чтобы найти частную производные по функциинеобходимо в выражениипеременнуюсчитать постоянной и дифференцировать при этом условиипокак функцию одной переменной. Аналогично, для нахождения частной производной по переменной.
Геометрический смысл:
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области, тогда частной производной функциипо(по) вычисленная в точкеесть тангенс угла между осьюи касательной, проведенной в соответствующей точке поверхности к линии ее пересечения плоскостью.
Определение:
Частной производной - го порядка функцииназывается частная производная первого порядка по одной из переменныхилиот частной производнойпорядка.
Теорема(о равенстве смешанных производных):
Если функция имеет всевозможные непрерывные частные производные до- го порядка включительно, то значения любой смешанной производной- порядка не зависит от того порядка, в котором для ее получения проводились последовательные дифференцирования пои по, но зависит от общего числа дифференцирований по каждому из аргументов.
- формула нахождения частного дифференциала по.
- формула нахождения частного дифференциала по.
- формула нахождения полного дифференциала.
, где
Теорема(признак полного дифференциала):
Если функции ,и их частные производные первого порядка по обоим переменныминепрерывны в некоторой области, то для того чтобы в этой области выражениебыло полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось равенство:.