- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
Дифференциальные уравнения вида , где
Для нахождения решения последовательно интегрируем заданное д.у. по столько раз, каков порядок уравнения.
Дифференциальные уравнения вида .
Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда.
Замечание:
- д.у. вида , гдерешаем с помощью подставки.
Дифференциальные уравнения вида .
Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
Общий вид: .
Ход решения:
- составляем характеристическое уравнение вида ;
- решаем характеристическое равнение, используя дискриминант;
- записываем общее решение, учитывая:
ЛОДУ высших порядков решаются аналогично.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
Общий вид , где- непрерывная функция при всех рассматриваемых.
- ЛНДУ второго порядка с первой специальной правой частью (- любое действительное число, включая ноль,- многочлен-ой степени с действительными коэффициентами)
Его решение имеет вид: , где
- - общее решение соответствующего ЛОДУ,
-, где- кратность, с которойвходит в число корней характеристического уравнения,- из условия,- многочлен- ой степени, взятый с буквенными коэффициентами.
- ЛНДУ второго порядка со второй специальной правой частью (- любое действительное число, включая ноль,- многочлен-ой и- ой степени с действительными коэффициентами)
Его решение имеет вид: , где
- - общее решение соответствующего ЛОДУ,
-, где- кратность, с которой пара чиселвходит в число корней характеристического уравнения,- из условия,- разные многочлены одной степени с буквенными коэффициентами ().
ЛНДУ высших порядков решают аналогично.
Теорема:
Если - частное решение д.у.,- частное решение д.у., то их сумма- частное решение д.у..
Метод Лагранжа (для интегрирования ЛНДУ второго и высших порядков)
Этот метод целесообразно применять при интегрировании ЛНДУ с постоянными коэффициентами, но без специальной правой части и уравнений с переменными коэффициетами.
Пусть имеем - ЛНДУ второго порядка. Найдем его решение в видеметодом вариации.
- - решение соответствующего ЛОДУ;
- ;
- составляем СЛАУ относительно :
- находим по формулам Крамера решение системы: ;
- итнегрируем последнее равенство и полагаем постоянные интегрирования равными нулю, тем самым находим ;
- записываем решение в виде .
1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
Определение:
Система диффереренциальных уравнений вида
где - неизвестные функции независимой переменной, называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система дифференциальных уравнений называется линейной.
1) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению - го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного.
В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы.
2) Пусть дана система 3 линейных дифференциальных уравнений с 3 неизвестными функциями, коэффициенты которых постоянные:
Общее решение имеет вид: .
Здесь - нетривиальные частные решения системы, причем такие, что каждая тройка функций образуют ФСР.
Ищем такие частные решения системы в виде , здесь- некоторые константы. Подставив значенияв систему дифференциальных уравнений, получим систему линейный алгебраических уравнений относительно:
Составляем характеристическое уравнение:.
Оно имеет три корня: действительных или комплексно-сопряженных.
- Если корни дейстительные и различные , то для каждого корнянаходим из системыодно из ее решенийвида:
Линейная комбинация полученных частных решений определит общее решение заданной системы.
- Если среди корней есть пара комплексно-сопряженных чисел, т.е. - действительное,, то аналогичным способом с помощью корнянаходим первое частное решение системы в действительной форме. С помощью корняилиполучаем новое частное решение в комплексной форме. Выделив в новом решении действительные и мнимые части, составляем из них соответственно частные решения в действительной форме.