- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
1. - в случае явного задания кривой интегрирования;
2. - в случае параметрического задания кривой интегрирования;
3. - формула Грина, где- область, ограниченная контуром.
4. Если , то;
5. Если и- незамкнутая кривая, т.е. вычисление таких интегралов сводится к вычислению определенных, однако, в качестве линии интегрирования удобно брать ломаную, звенья которой параллельны осям координат.
15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
1. - нахождение функции по ее полному дифференциалу, где- точка из области непрерывности;
2. - работа силы, где, по перемещению материальной точки;
3. - площадь плоской фигуры.
Теорема (условие независимости составного интеграла по координатам от формы кривой интегрирования):
Если функции и их частные производные первого порядка непрерывны в некоторой области, то для того чтобы составной интеграл по координатам не зависел от формы кривой интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке областиподынтегральное выражениебыло полным дифференциалом некоторой функции двух переменных.
Раздел XVI: поверхностные интегралы.
16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
Пусть функция - непрерывна в каждой точке гладкой поверхности.
Определение:
Конечный предел интегральной суммы функции в областипри условии, чтоиназывается поверхностным интегралом по площади поверхности от функциипо поверхности, где- диаметр частичной поверхности.
Т.о. , где- площадь частичной поверхности.
Определение:
Сторона поверхности называется положительной (отрицательной) в направлении оси , если нормаль, проведенная к этой стороне в произвольной точке составляет с осьюострый (тупой) угол.
Аналогично, для .
Определение:
Выбор одной из двух сторон поверхностей (положительной или отрицательной) в направлении определенной оси называется ориентацией поверхности в направлении выбранной оси.
Основные свойства:
Поверхностные интегралы не завися от ориентации поверхности в направлении любой оси.
;
Если всюду на , то и;
Если всюду на , то и;
;
, где- площадь,- из поверхности.
16.2. Вычисление поверхностных интегралов по площади поверхности:
Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;
Тогда уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируемна соответствующую двумерную плоскость.
Т.е., если такая прямая параллельна оси :
- уравнение :;
- проецируем наи.
3. Переходим к двойному интегралу:
.
16.3. Применения поверхностных интегралов по площади поверхности:
- площадь поверхности;
- масса гладкой неоднородной поверхностис плотностью;
;;- статические моменты относительно координатных плоскостей;
;;; - координаты центра масс поверхности;
- моменты инерции поверхности относительно координатных осей.