- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
13.3. Дифференцирование сложных функций:
Общий случай:
Пусть , тогда
и.
Полная производная:
Пусть , тогда
.
13.4. Дифференцирование неявных функций:
1. Неявная функция одной переменной: , тогда
или;
Неявная функция двух переменных: , тогда
и, если функциязависит от переменных,.
Имеем аналогичные формулы, если или.
13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
1) Если поверхность задана явно уравнением , то
- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке
- уравнение нормали к этой поверхности в точке.
2) Если поверхность задана неявно уравнением , то
- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке.
- уравнение нормали к этой поверхности в точке.
13.6. Экстремумы функции двух переменных:
Определение:
1)Точка, в которой хотя б одна из частных производных первого порядка функции не существует или обе обращаются в нуль, называется критической точкой этой функции.
2) Точка, в которой обе частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой.
Теорема (достаточный признак существования экстремума функции):
Если в стационарной точке функцияимеет всевозможные непрерывные частные производные второго порядка и если в этой точке:
- , то- точка экстремума и;
- , то в точке- экстремума нет;
- , неопределенный случай.
;;
Правило нахождения экстремума функции :
Определяем ;
Находим стационарные точки, лежащие строго внутри ;
Для каждой такой стационарной точки составляем выражение и с его помощью устанавливаем наличие в стационарной точке экстремума, а по знакуопределяем его характер;
Вычисляем значение заданной функции в точке экстремума, тем самым получаем .
Раздел XIV: кратные интегралы.
14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
Пусть непрерывна в замкнутой области.
Определение:Конечный предел интегральной суммы функциив областипри условии, чтоиназывается двойным интегралом от этой функции по области, где- диаметр частичной области.
Т.о. .
Основные свойства двойного интеграла:
1) , где-;
2) ;
3) ;
4) Если всюду в области, то;
5) Если всюду в области , то;
6) Если - наименьшее,- наибольшее значения функциии области, то, где- площадь области;
7) ;
8) Теорема о среднем:
Если функция - непрерывна в замкнутой области, то, где- площадь областии- некоторая внутренняя точка области.
Двойной интеграл от неотрицательной функции определяет объем соответствующего цилиндрического тела.
14.2. Вычисление двойного интеграла:
1.
Правило вычисления двойного интеграла по :
- строим область интегрирования и проверяем, является ли она правильной и стандартной по;
- разрешаем уравнение границ области относительно ;
- переходим от двойного интеграла к повторному;
- берем внутренний интеграл по при произвольном постоянном;
- вычисляем внешний интеграл.
2. .
14.3. Применения двойного интеграла:
или - вычисление площади фигур;
- вычисление объема;
- масса плоской неоднородной пластины плотности(механический смысл двойного интеграла);
4) ;- статические моменты относительно осей
;- координаты центра масс пластины;
- моменты инерции пластины.