- •Примеры и задачи
- •Список обозначений
- •1. Основные характеристики атомных ядер
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Задача 1.3
- •Задача 1.4
- •Задача 1.5
- •Задача 1.6
- •Задача 1.7
- •Задача 1.8
- •Задача 1.9
- •Задача 1.10
- •Задача 1.11
- •Задача 1.12
- •Задача 1.13
- •Задача 1.14
- •Задача 1.15
- •Задача 1.16
- •Задача 1.17
- •Задача 1.18
- •Задача 1.19
- •Задача 1.20
- •Задача 1.21
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •2. Радиоактивные превращения ядер
- •2.1. Законы радиоактивного распада Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Задача 2.3
- •Задача 2.4
- •Задача 2.5
- •Задача 2.6
- •Задача 2.12
- •Задача 2.13
- •10,2 Ч,
- •Задача 2.14
- •Задача 2.15
- •Задача 2.16
- •Задача 2.17
- •Задача 2.18
- •2.2. Альфа- и бета-распады, гамма-излучение ядер Задача 2.19
- •Задача 2.20
- •Задача 2.21
- •Задача 2.22
- •Задача 2.23
- •Задача 2.24
- •Задача 2.25
- •Задача 2.26
- •Задача 2.27
- •Задача 2.28
- •Задача 2.29
- •Задача 2.30
- •Задача 2.31
- •Задача 2.32
- •Задача 2.33
- •2.3. Статистика регистрации ядерного излучения Задача 2.34
- •Задача 2.35
- •Задача 2.36
- •Задача 2.37
- •Задача 2.38
- •Задача 2.39
- •Задача 2.40
- •Задача 2.41
- •Задача 2.42
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Ядерные реакции
- •3.1. Законы сохранения в ядерных реакциях Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Задача 3.4
- •Задача 3.5
- •Задача 3.6
- •Задача 3.7
- •Задача 3.8
- •Задача 3.9
- •Задача 3.10
- •Задача 3.11
- •Задача 3.12
- •Задача 3.13
- •Задача 3.14
- •Задача 3.15
- •Задача 3.16.
- •3.2. Уровни ядер. Сечения и выходы ядерных реакций Задача 3.17
- •Задача 3.18
- •Задача 3.19
- •Задача 3.20
- •Задача 3.21
- •Задача 3.22
- •Задача 3.23
- •Задача 3.24
- •Задача 3.25
- •Задача 3.26
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Взаимодействие нейтронов с ядрами
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Задача 4.4
- •Задача 4.5
- •Задача 4.6
- •Задача 4.7
- •Задача 4.8
- •Задача 4.9
- •Задача 4.10
- •Задача 4.11
- •Задача 4.12
- •Задача 4.13
- •Задача 4.14
- •Задача 4.15
- •Задача 4.16
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •5. Деление и синтез ядер Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Задача 5.4
- •Задача 5.5
- •Задача 5.6
- •Задача 5.7
- •Задача 5.8
- •Задача 5.9
- •Задача 5.10
- •Задача 5.11
- •Задача 5.12
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Приложение
- •Некоторые свойства нуклидов
- •Нейтронные сечения для некоторых нуклидов
- •Постоянные делящихся нуклидов
- •Плотность некоторых веществ
- •Основные константы
Задача 3.7
Вычислить пороговую кинетическую энергию налетающей частицы в реакции а+3H→3He+n, если налетающей частицейаявляется а) протон; б) ядро трития (тритон).
Решение. По формуле (3.3) рассчитаем энергию реакции
Q = mp + M(3H) – mn – M(3He) = [Δmp + Δ(3H) – Δmn – Δ(3He)]·931,5 =
= [0,007825 + 0,016049 – 0,016030 – 0,0086665]·931,5 = –0,7648 МэВ.
Значения избытков масс атомов взяты из табл. 1 приложения. Как видно, реакция эндоэнергетическая.
Пороговая кинетическая энергия, согласно формуле (3.6) будет равна
а) МэВ;
б) МэВ.
Задача 3.8
Определить кинетическую энергию ядер 7Ве, возникающих в реакцииp+7Li→7Be+n– 1,65 МэВ при пороговом значении кинетической энергии протона.
Решение. Кинетическая энергия возникающего ядра7Ве равна
, |
(3.8.1) |
где, согласно (3.6.10), – скорость движения ядра7Ве в ЛСК, а– скорость СЦИ относительно ЛСК.
Поскольку в СЦИ скорости движения образовавшихся ядра 7Beи нейтрона при пороговой энергии протона равны нулю по определению, то в ЛСК обе образовавшиеся частицы движутся с одинаковой скоростьюи
. |
(3.8.2) |
Согласно (3.6.12),
. |
(3.8.3) |
Поскольку
, |
(3.8.4) |
а в свою очередь, согласно (3.6.14),
, |
(3.8.5) |
то из уравнений (3.8.2) –(3.8.5) получаем
(3.8.6) |
Задача 3.9
Вычислить энергию реакции14N(α,p)17O, еслиTα= 4 МэВ – энергия налетающих α-частиц, а протон, вылетевший под угломº к направлению движения α-частицы, имеет энергиюТр= 2,08 МэВ.
Решение. Согласно (3.3), энергия реакции
-
Q = T2 – T1 = Tр + –Tα.
(3.9.1)
Изобразим графически закон сохранения импульса в виде векторного треугольника (рис. 3.9.1). По теореме косинусов
. |
(3.9.2) |
Учитывая, что р2= 2mT, из (3.9.2) получим
. |
(3.9.3) |
Подставив это выражение в (3.9.1), имеем
Q = Tр + –Tα = = 2,08 +– 4 = –1,2 МэВ. |
Задача 3.10
Получить в СЦИ формулу (3.5) для импульса частиц, возникающих в результате ядерной реакции (3.1), если энергия реакцииQ, а кинетическая энергия налетающей частицыав ЛСК равнаТа.
Решение. В СЦИ импульсыиобразовавшихся частицbиВдолжны быть равны по величине и противоположно направлены:
.
Из определения энергии реакции (3.3)
(3.10.1) |
В свою очередь,
, |
(3.10.2) |
где приведенная масса частиц, образовавшихся в результате ядерной реакции.
Подставив выражение (3.10.2) для кинетической энергии в (3.10.1), получим
. |
(3.10.3) |
Из (3.6.13) выразим в СЦИ суммарную кинетическую энергию частиц, участвующих в ядерной реакции, через кинетическую энергиюТ1=Тав ЛСК и подставим результат в (3.10.2)
. |
(3.10.4) |
Полученная формула удобна для построения векторной диаграммы импульсов.
Задача 3.11
Определить кинетическую энергию ядер кислорода, вылетающих под углом 30º к направлению бомбардирующих протонов в реакции14N(p,n)14О,Q=– 5,9 МэВ. Кинетическая энергия протонов 10 МэВ. Решение получить с помощью построенной в масштабе векторной диаграммы импульсов для ядерной реакции.
Решение. Поскольку кинетическая энергия вылетающих частиц в СЦИ не зависит от угла вылета, то делаем заключение, что следует определить кинетическую энергиюТО() в ЛСК. Предварительно напомним, что в нерелятивистском случае, который здесь реализуется (почему?), кинетическая энергия ядер14О выражается через их импульс обычным образом:
. |
(3.11.1) |
Для нахождения p(14О) построим векторную диаграмму импульсов. Для этого определим величину вектора налетающей частицы:
у.е.,
т. к. энергию и массу выражаем во внесистемных единицах. Выбираем в качестве масштаба 1 у.е. = 1 см и на рис. 3.11.1 строим направленный отрезокАВдлиной 4,47 см, отображающий вектор импульса налетающего протона. Затем делим этот отрезок точкойОна два отрезкаАОиОВтаким образом, чтобыАО/ОВ=mn/M(14O). По формуле (3.5), используя (3.10.4), вычисляем величину импульса образовавшихся частиц в СЦИ:
= 2,53 у.е. |
Радиусом R=2,53 см проводим дугу с центром в точкеО. Из точкиВпод угломφ = 30º по направлению к отрезкуАВпроводим луч до пересечения с дугой в точкахСиС1. Направленные отрезкиС1ВиСВотображают в ЛСК два возможных импульса вылетающих под угломφ = 30º ядер14О. Соответственно отрезкиАС1иАСотображают в ЛСК два возможных импульса образующихся нейтронов. Измерив длину отрезковС1ВиСВполучаем, чтоР1(14О) = 5,0 у.е., аР(14О) = 2,2 у.е. Этим величинам импульсов отвечают, согласно формуле (3.11.1), два значения кинетической энергии ядер14О в ЛСК:
МэВ.
Полезно получить величины р1(14О) ир2(14О) аналитически. Для этого на рис. 3.11.1 соединим точкиОиСи решим треугольникОВС. СторонаОС== 2,53 у.е., сторонаОВ== (14/15)Ра= = 4,17 у.е.Используя теорему косинусов, получим
ОС2=СВ2+ОВ2– 2СВ·ОВ·соsφ,
или квадратное уравнение для нахождения Р(14О):
2,532=Р2(14О) + 4,172- 2р(14О)·.
Это уравнение имеет два корня, которые дают две искомые величины векторов:
р1(14О) = 3,61 + 1,43 = 5,04 у.е.
и
р2(14О) = 3,61 - 1,43 = 2,18 у.е.,
которые являются, разумеется, более точными, чем значения, полученные выше графическим способом.