Решения
.docЗадача 2.
Имеются изделия четырех сортов.
первого сорта .
второго сорта .
третьего сорта.
четвертого сорта.
Для контроля на удачу выбирается 6 изделий . Определить вероятность того что среди них окажется
первосортное
второсортных
третьего сорта
четвертого сорта.
Решение:
Для решения используется гипергеометрическое распределение.
Суммарное число изделий
Суммарное число изделий в выборке
Задача 5.
В отрезке единичной длины на удачу появляется точка К. Определить вероятность того что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину .
Решение:
Задача 8.
В двух партиях 81 и 37 % доброкачественных деталей соответственно . На удачу выбирается по одному изделию из каждой партии . Какова вероятность обнаружить среди них .
1. хотя бы одно бракованное.
Решение.
Пусть - событие выбора качественного изделия из первой партии.
- событие выбора качественного изделия из второй партии.
Тогда искомое событие где - не
Вероятность события
2. Два бракованных.
Решение:
Искомое событие
Вероятность события
3. Одно доброкачественное и одно бракованное.
Решение:
Искомое событие
Вероятность события
Задача 11.
Задание:
Урна содержит 9 занумерованных шаров с номерами от 1 до 9 . Шары извлекаются по одному без возвращения . определить вероятность событий:
. Номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, 3 ...
Решение:
Вероятность правильного выбора первого шара второго шара и так далее так как в урне всегда присутствует только один шар с нужным номером . Общая вероятность равна
. нет ни одного совпадения номера шара с порядком извлечения.
Решение:
Рассмотрим вероятность события когда шар извлекается в соответствии с номером.
Так при первом выборе вероятность выбрать шар с нужным номером (нужный это соответствующий порядку извлечения) равна
где -число шаров в совокупности. Так как выбирается один шар из .
Но при выборе второго шара нужно учесть вероятность того что нужный шар мог быть взят при первом выборе и суммарная вероятность для шара быть не выбранным в прошлый раз и выбранным в этот равна:
соответственно для третьего раза:
и так далее .Соответственно для любого номера шара вероятность быть не выбранным равна
Полная вероятность для урны с шарами:
При равном 9:
. Хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения (событие B).
Решение:
Противоположным является событие в котором размещение не содержит элементов которые находятся на своих местах , а это также 1 вариант в множестве размещений
. Найти предельные значения вероятностей при числе шаров
Решение:
при
Задача 14.
Задание.
В альбоме из марок чистых марок и гашеных . Из них на удачу выбирается 2 марки (любых) и подвергаются спец гашению после чего возвращаются обратно. Затем вновь наудачу извлекается 3 марки . Определить вероятность того что все 3 марки чистые.
Решение:
Пусть выбор для спец гашения одной чистой марки это событие
двух чистых марок это событие
ни одной чистой марки это событие
Пусть выбор 3 чистых марок при наличии чистых марок это событие
Тогда событие выбора 3 чистых марок равно :
для вычисления вероятностей используется гипергеометрическое распределение :
при первом выборе:
при втором выборе:
Задача 17.
Задание:
Вероятность выигрыша в лотерею равна 0.4 .Куплено 13 билетов .Найти наиболее вероятное число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.
Решение:
Допустим имеется билетов и из них выигрышных. Всего существует размещений этих билетов .Вероятность обнаружить какое либо из этих размещений равна где -вероятность позитивного исхода а -вероятность негативного исхода. и полная вероятность обнаружить выигрышных билета равна в пачке из билетов
отсюда можно вычислить вероятности:
Задача 20.
Задание:
Вероятность наступления некоторого события в серии из независимых экспериментов равна 0.6 .Определить вероятность того что число наступлений события удовлетворяет неравенствам:
Решение:
n от 40 до 50.
В прошлой задаче была получена формула для нахождения вероятности обнаружить позитивных результата в наборе из проб. Здесь . Вероятность зафиксировать от 40 до 50 событий равна:
n до 40
n до 50
Задача 23.
Задание:
По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Решение:
1. Математическое ожидание.
По определению:
2. Дисперсия.
По определению:
3. Характеристическая функция.
Задача 26.
Задание:
Случайная величина имеет плотность распределения другая случайная величина связана с функциональной зависимостью . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Решение:
1. Математическое ожидание.
По определению:
2. Дисперсия.
По определению:
Задача 29.
Задание:
По данной плотности распределения двумерной случайной величины найти плотность распределения случайной величины однозначно связанной с соотношениями
Решение:
Пусть искомое распределение тогда должно выполнятся условие:
то есть:
где
тогда:
что вполне аналогично ковариантной замене координат.
Задача 32.
Условие:
Случайная величина может с одинаковой вероятностью принимать одно из двух значений : или .Выяснить удовлетворяет ли последовательность попарно независимых случайных величин закону больших чисел.
Решение:
1) для равного .
математическое ожидание
следовательно необходимо доказать:
будем рассматривать функцию как случайную величину . По условию каждое значение принимается с равной вероятностью. В пределе величину можно рассматривать как непрерывную. Величина очевидно удовлетворяет условию:
обе эти ограничивающие последовательности сходятся к 0 следовательно в пределе может принимать только значение 0 с вероятностью 1. То есть система удовлетворяет закону больших чисел.
1) для равного .
математическое ожидание
следовательно необходимо доказать:
будем рассматривать функцию как случайную величину . По условию каждое значение принимается с равной вероятностью. В пределе величину можно рассматривать как непрерывную. Величина очевидно удовлетворяет условию:
обе эти ограничивающие последовательности расходятся следовательно в пределе распределена по бесконечному интервалу и принимает значение 0 с вероятностью 0.
Задача 35.
Условие:
Известно что случайная величина распределена по биномиальному закону неизвестным считается параметр используя метод наибольшего правдоподобия найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .
Решение:
функция правдоподобия имеет вид:
где
критическая точка уравнения правдоподобия: