- •Примеры и задачи
- •Список обозначений
- •1. Основные характеристики атомных ядер
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Задача 1.3
- •Задача 1.4
- •Задача 1.5
- •Задача 1.6
- •Задача 1.7
- •Задача 1.8
- •Задача 1.9
- •Задача 1.10
- •Задача 1.11
- •Задача 1.12
- •Задача 1.13
- •Задача 1.14
- •Задача 1.15
- •Задача 1.16
- •Задача 1.17
- •Задача 1.18
- •Задача 1.19
- •Задача 1.20
- •Задача 1.21
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •2. Радиоактивные превращения ядер
- •2.1. Законы радиоактивного распада Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Задача 2.3
- •Задача 2.4
- •Задача 2.5
- •Задача 2.6
- •Задача 2.12
- •Задача 2.13
- •10,2 Ч,
- •Задача 2.14
- •Задача 2.15
- •Задача 2.16
- •Задача 2.17
- •Задача 2.18
- •2.2. Альфа- и бета-распады, гамма-излучение ядер Задача 2.19
- •Задача 2.20
- •Задача 2.21
- •Задача 2.22
- •Задача 2.23
- •Задача 2.24
- •Задача 2.25
- •Задача 2.26
- •Задача 2.27
- •Задача 2.28
- •Задача 2.29
- •Задача 2.30
- •Задача 2.31
- •Задача 2.32
- •Задача 2.33
- •2.3. Статистика регистрации ядерного излучения Задача 2.34
- •Задача 2.35
- •Задача 2.36
- •Задача 2.37
- •Задача 2.38
- •Задача 2.39
- •Задача 2.40
- •Задача 2.41
- •Задача 2.42
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Ядерные реакции
- •3.1. Законы сохранения в ядерных реакциях Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Задача 3.4
- •Задача 3.5
- •Задача 3.6
- •Задача 3.7
- •Задача 3.8
- •Задача 3.9
- •Задача 3.10
- •Задача 3.11
- •Задача 3.12
- •Задача 3.13
- •Задача 3.14
- •Задача 3.15
- •Задача 3.16.
- •3.2. Уровни ядер. Сечения и выходы ядерных реакций Задача 3.17
- •Задача 3.18
- •Задача 3.19
- •Задача 3.20
- •Задача 3.21
- •Задача 3.22
- •Задача 3.23
- •Задача 3.24
- •Задача 3.25
- •Задача 3.26
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Взаимодействие нейтронов с ядрами
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Задача 4.4
- •Задача 4.5
- •Задача 4.6
- •Задача 4.7
- •Задача 4.8
- •Задача 4.9
- •Задача 4.10
- •Задача 4.11
- •Задача 4.12
- •Задача 4.13
- •Задача 4.14
- •Задача 4.15
- •Задача 4.16
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •5. Деление и синтез ядер Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Задача 5.4
- •Задача 5.5
- •Задача 5.6
- •Задача 5.7
- •Задача 5.8
- •Задача 5.9
- •Задача 5.10
- •Задача 5.11
- •Задача 5.12
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Приложение
- •Некоторые свойства нуклидов
- •Нейтронные сечения для некоторых нуклидов
- •Постоянные делящихся нуклидов
- •Плотность некоторых веществ
- •Основные константы
Задача 2.2
Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер τ = 1/λ, где λ – их постоянная распада.
Решение. По правилу нахождения среднего значения случайной величины
, |
(2.2.1) |
поскольку dp(t) – вероятность (вероятностьр(t) нормирована на единицу!) того, что ядро, прожив времяt, распадется междуtиt+dt, а вероятностьp(t) получена в предыдущей задаче (см. (2.1.4)). Выполняя в (2.2.1) интегрирование по частям, получим
. |
Задача 2.3
Какая доля первоначального количества ядер90Srа)останется через 10 и 100 лет; б)распадется за одни сутки; за 15 лет?
Решение. Будем предполагать, что первоначальное количество ядер настолько велико, что доли распавшихся ηаи доли оставшихся ηб ядер совпадают с вероятностямиq(t) (2.1.4) иp(t) (2.1.5) соответственно, полученными в задаче 2.1. Необходимую величину постоянной распада λ =ln2/Т1/2определим через период полураспада, величину которого найдем в табл. 1 приложения.
а) ηа(t) = e-λt=.
ηа(t1) = = 0,78.
ηа(t2) = = 0,084.
б) ηб(t) =.
ηб(t1) == 6,8·10-5
ηб(t1) == 0,31.
Задача 2.4
Вычислить постоянную распада, среднее время жизни и период полураспада радиоактивного нуклида, активностьA(t) которого уменьшается в 1,07 раза за 100 дней.
Решение. Активность по определению – среднее число распадающихся ядер в единицу времени (см. формулу (2.2)).
Число ядер, которые должны испытать распад за время t,
Nd(t) =N0–N(t) =N0(1 –e-λt). |
(2.4.1) |
Дифференцируя (2.4.1) по времени, получим формулу (2.2)
А(t) = λ N0e-λt=А0e-λt, |
(2.4.2) |
где А0= λN0 – активность в начальный момент времени. Таким образом,
.
Решая последнее уравнение относительно λ, получим
сут-1.
Найти τ и Т1/2рекомендуется самостоятельно, используя приведенные выше формулы.
Задача 2.5
Определить возраст древних деревянных предметов, у которых удельная активность 14С составляет 3/5 удельной активности этого же нуклида в только что срубленных деревьях.
Решение. Радиоактивный углерод14С, период полураспада которогоТ1/2= 5730 лет, непрерывно образуется в верхних слоях атмосферы Земли из азота14Nпод действием космического излучения. Благодаря ветрам и океанским течениям равновесная концентрация14С в различных местах земного шара одинакова и равна примерно 15 распадам в минуту на каждый грамм углерода в составе живых организмов. Пока организм жив, в результате процессов обмена концентрация14С в нем остается постоянной из-за круговорота веществ в природе. После смерти организма усвоение14С прекращается, и его количество начинает убывать по обычному закону (2.1) радиоактивного распада, что позволяет определить дату смерти или, как говорят археологи, возраст.
Согласно (2.2) и условию задачи
,
откуда
Задача 2.6
Свежеприготовленный препарат содержит 1,4 мкг радиоактивного нуклида24Nа. Какую активность он будет иметь через сутки?
Решение. Согласно (2.2)
Задача 2.7
Определить число радиоактивных ядер в свежеприготовленном препарате82Br, если известно, через сутки его активность стала равной 7,4·10-9Бк (0,4 Ки).
Решение
Из формулы (2.2) следует, что
.
Задача 2.8
Вычислить удельную активность чистого 239Pu.
Решение. Удельная активность нуклида – активность единицы массы этого нуклида:
. |
(2.8.1) |
Для нуклида (без учета вторичных компонент, возникающих после распада)
, |
(2.8.2) |
т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени. Учитывая, что T1/2(239Pu) = 24100 лет, получим
Задача 2.9
Сколько миллиграмм β-активного90Srследует добавить к 1 мг нерадиоактивного стронция, чтобы удельная активность препарата стала равной 6,8 Ки/г?
Решение.
. |
(2.9.1) |
Из этого уравнения
.
Удельную активность нуклида 90Sr, период полураспада которогоТ1/2= 28,6 лет, вычислим по формуле (2.8.2):
.
Используем полученную удельную активность нуклида 90Srдля получения ответа:
.
Задача 2.10
Вкровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего24Nа активностьюА0= 2,1·103Бк. Активность одного кубического сантиметра крови, взятой черезt= 5 ч после этого, оказалась равнойаv= 0,28 Бк/см3. Найти объем крови человека.
Решение. Будем предполагать, что за 5 ч концентрация атомов24Nа в крови человека выровнялась и стала однородной. Тогда
.
Из этого уравнения находим
.
Задача 2.11
При радиоактивном распаде ядер нуклида А1образуется радионуклидА2. Их постоянные распада равны λ1и λ2. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклидаА1в количествеN01, определить
а)количество ядер нуклидаА2через промежуток времениt;
б)промежуток времени, через который количество ядер нуклидаА2достигнет максимума;
в)в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?
Решениеа). Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:
N1(t) =N10·exp(–λ1t), |
(2.11.1) |
где N10–начальное количество ядер нуклидаА1.
Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс среднего числа ядер нуклида А2за времяdt:
dN2= λ1·N1·dt – λ2·N2·dt. |
(2.11.2) |
Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А2, которые возникают за времяdt, второй–среднее число ядер нуклидаА2, которые распадаются за времяdt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид
dN2/dt= λ1 ·N10 ·exp(–λ1t) – λ2 ·N2. |
(2.11.3) |
Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной.
Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть
N2(t) =С(t)·exp(–λ2t), |
(2.11.4) |
в котором С(t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функцииС(t):
dС/d t = λ1 ·N10 ·exp[(λ2 – λ) t],
решение которого есть
. |
(2.11.5) |
Константа С1определяется из начальных условий.
Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим
. |
(2.11.5) |
Если N20(t= 0) = 0, то окончательно имеем
. |
(2.11.6) |
б). Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахожденияtm– времени накопления максимального числа ядер нуклидаА2:
,
из которого
. |
(2.11.7) |
в). Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение:
.
Если λ2>> λ1[(T1/2)2<< (T1/2)2] иt>> 1/ λ2≈ (T1/2)2, то
(2.11.8) |
Таким образом, получена формула (2.4).