Задача 2.12

Нуклид ²²⁶Ra, являясь продуктом распада²³⁸U, содержится в последнем в количестве одного атома на каждые 2,80·10⁶атомов²³⁸U. Найти период полураспада²³⁸U, если известно, что он значительно больше периода полураспада²²⁶Ra, который равен 1620 годам.

Решение. Для решения используем формулу (2.11.8) из предыдущей задачи, так как условия, при которых она справедлива, соблюдены:

,

откуда

лет.

Задача 2.13

При β-распаде ¹¹²Pdвозникает β-активный нуклид¹¹²Ag. Их периоды полураспада равны соответственно 21 и 3,2 ч. Найти отношение максимальной активности нуклида¹¹²Agк первоначальной активности препарата, если в начальный момент препарат содержал только нуклид¹¹²Pd.

Решение. Будем обозначать индексом «1» величины, относящиеся к¹¹²Pd, а индексом «2» величины, относящиеся к¹¹²Ag. Тогда

;.

Искомое отношение

,

(2.13.1)

где N(t_m) – максимальное число атомов нуклида¹¹²Ag, которое накапливается за времяt_m(2.11.7). Используя (2.11.6), получим

.

(2.13.2)

Вычислим, используя (2.11.7),

10,2 Ч,

а затем по формуле (2.13.2) рассчитаем

.

Задача 2.14

Радионуклид испытывает превращение по цепочке

(под стрелками указаны соответствующие периоды полураспада). Считая, что в начальный моментt = 0 препарат содержал только¹¹⁸Cd, найти

а)какая часть ядер превратиться в стабильные ядра через 60 мин;

б)во сколько раз уменьшится активность препарата через 60 мин.

Решениеа). ПустьN₁₀– первоначальное количество ядер, аN₃(t) – количество образовавшихся ядер¹¹⁸Sn за времяt.

В свою очередь, количество образовавшихся ядер ¹¹⁸Sn за времяtравно числу распавшихся ядер¹¹⁸In за этот же промежуток времени:

,

где N₂(t) и λ₂– зависимость числа ядер¹¹⁸In от времени и их постоянная распада. Используя формулу (2.11.6), получим

.

Таким образом,

.

Величину η_авычислить самостоятельно (η_а= 0,7).

б)Активность препарата через времяtсоставит

A(t) = A₁(t) + A₂(t) = λ₁·N₁(t) + λ₂·N₂(t).

Тогда

.

Величину η_бвычислить самостоятельно (η_б= 1,85).

Задача 2.15

Определить массу свинца, который образуется из 1,0 кг ²³⁸Uза время, равное возрасту горных пород (2,5·10⁹лет).

Решение.²⁰⁶Pb является конечным и стабильным элементом в радиоактивном семействе (ряду) урана, родоначальником которого является²³⁸U. Поскольку суммарный период полураспада всех последующих звеньев семейства много меньше, чем период полураспада ядер²³⁸U, то с хорошей точностью можно считать, что период полураспада, приводящий к образованию ядер²⁰⁶Pb, равен периоду полураспада²³⁸U.

Искомая масса ²⁰⁶Pb будет равна

M(206Pb)=Мат(206Pb)·N(206Pb) =Мат(206Pb)· Np(238U),

(2.15.1)

где N_p(²³⁸U) – количество распавшихся ядер ²³⁸U за время t, которые, в конечном итоге, превратились в равное количество ядер ²⁰⁶Pb. Если первоначальное количество ядер ²³⁸U равнялось

,

то количество распавшихся ядер ²³⁸U за время t составит

Подставив последнее выражение в (2.15.1), получим

M(²⁰⁶Pb) ==== 0,27 кг.

Задача 2.16

Радионуклид ²⁷Mg образуется с постоянной скоростьюg= 5,0·10¹⁰ядер в секунду. Определить количество ядер²⁷Mg, которое накопится в препарате через промежуток времени а)значительно превышающий его период полураспада; б)равный периоду полураспада.

Решение. Рассмотрим изменениеdNядер²⁷Mg в течение малого промежутка времениdt:

dN = gdt – λNdt,

(2.16.1)

где gdt– количество рождаемых ядер, а λNdt– количество распадающихся ядер за времяdt. Интегрируя это уравнение с начальным условиемN(t = 0) = 0, получим формулу (2.3):

.

а) Предельный переход в (2.3) при t→ ∞ дает

Полученный результат определяет максимальное количество ядер ²⁷Mg, которое может образоваться при заданных условиях.

б)Еслиt=T_1/2, то выражение в скобках в (2.3) равно 1/2 и с учетом результата п. а), получим

.