- •Примеры и задачи
- •Список обозначений
- •1. Основные характеристики атомных ядер
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Задача 1.3
- •Задача 1.4
- •Задача 1.5
- •Задача 1.6
- •Задача 1.7
- •Задача 1.8
- •Задача 1.9
- •Задача 1.10
- •Задача 1.11
- •Задача 1.12
- •Задача 1.13
- •Задача 1.14
- •Задача 1.15
- •Задача 1.16
- •Задача 1.17
- •Задача 1.18
- •Задача 1.19
- •Задача 1.20
- •Задача 1.21
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •2. Радиоактивные превращения ядер
- •2.1. Законы радиоактивного распада Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Задача 2.3
- •Задача 2.4
- •Задача 2.5
- •Задача 2.6
- •Задача 2.12
- •Задача 2.13
- •10,2 Ч,
- •Задача 2.14
- •Задача 2.15
- •Задача 2.16
- •Задача 2.17
- •Задача 2.18
- •2.2. Альфа- и бета-распады, гамма-излучение ядер Задача 2.19
- •Задача 2.20
- •Задача 2.21
- •Задача 2.22
- •Задача 2.23
- •Задача 2.24
- •Задача 2.25
- •Задача 2.26
- •Задача 2.27
- •Задача 2.28
- •Задача 2.29
- •Задача 2.30
- •Задача 2.31
- •Задача 2.32
- •Задача 2.33
- •2.3. Статистика регистрации ядерного излучения Задача 2.34
- •Задача 2.35
- •Задача 2.36
- •Задача 2.37
- •Задача 2.38
- •Задача 2.39
- •Задача 2.40
- •Задача 2.41
- •Задача 2.42
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Ядерные реакции
- •3.1. Законы сохранения в ядерных реакциях Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Задача 3.4
- •Задача 3.5
- •Задача 3.6
- •Задача 3.7
- •Задача 3.8
- •Задача 3.9
- •Задача 3.10
- •Задача 3.11
- •Задача 3.12
- •Задача 3.13
- •Задача 3.14
- •Задача 3.15
- •Задача 3.16.
- •3.2. Уровни ядер. Сечения и выходы ядерных реакций Задача 3.17
- •Задача 3.18
- •Задача 3.19
- •Задача 3.20
- •Задача 3.21
- •Задача 3.22
- •Задача 3.23
- •Задача 3.24
- •Задача 3.25
- •Задача 3.26
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Взаимодействие нейтронов с ядрами
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Задача 4.4
- •Задача 4.5
- •Задача 4.6
- •Задача 4.7
- •Задача 4.8
- •Задача 4.9
- •Задача 4.10
- •Задача 4.11
- •Задача 4.12
- •Задача 4.13
- •Задача 4.14
- •Задача 4.15
- •Задача 4.16
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •5. Деление и синтез ядер Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Задача 5.4
- •Задача 5.5
- •Задача 5.6
- •Задача 5.7
- •Задача 5.8
- •Задача 5.9
- •Задача 5.10
- •Задача 5.11
- •Задача 5.12
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Приложение
- •Некоторые свойства нуклидов
- •Нейтронные сечения для некоторых нуклидов
- •Постоянные делящихся нуклидов
- •Плотность некоторых веществ
- •Основные константы
Задача 2.32
Свободное ядро с энергией возбужденияЕвозб = 129 кэВ переходит в основное состояние, испустив γ-квант. Найти изменение энергии γ-кванта относительно энергии возбуждения вследствие отдачи ядра.
Решение. По закону сохранения энергии и импульса
Евозб=Еγ+Тя; |
(2.32.1) |
рγ =ря, => Еγ = ря·c. |
(2.32.2) |
Из этих уравнений
. |
(2.32.3) |
Подставляя (2.32.3) в (2.32.1), получим
.
Поэтому относительное изменение энергии γ-кванта
.
Задача 2.33
С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер 191Ir, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ-квантов с энергией 129 кэВ.
Решение. Максимальное (резонансное) поглощение γ-квантов может наблюдаться только тогда, когда γ-квант передает ядру энергию, равную энергии возбужденияЕвозб. Но γ-квант уносит не всю энергиюЕвозбвозбуждения ядра, т.к. часть этой энергииТяпередается на отдачу ядра, испустившего γ-квант:
Для возбуждения ядра до энергии Евозбнужно поглотить-квант с энергией
так как согласно закону сохранения импульса не вся энергия поглощенного -кванта переходит в энергию покоя ядра, а часть ее вызывает движения ядра. В результате энергии испущенного и поглощенного-квантов не совпадают на величину 2Тя и для возникновения максимального (резонансного) поглощения необходимо чтобы излучающие и поглощающие ядра имели кинетическую энергию относительного движения, равную 2Тя.
Согласно решению предыдущей задачи (см. формулу (2.32.3))
2Тя=,
а относительная скорость сближения источника и поглотителя равна
м/с.
2.3. Статистика регистрации ядерного излучения Задача 2.34
Врезультате активации образовалосьN0= 10 радиоактивных ядер. Какова вероятность распада точноn= 5 ядер за времяt=Т1/2?
Решение. Используя биномиальный закон (2.5) и формулы (2.6) и (2.7), получим
.
Задача 2.35
Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время одного измерения равно 10,0. Считая время измерения малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радионуклида, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 или 5 импульсов.
Решение. Ожидаемое число измерений, в которых может быть зафиксировано точноniимпульсов будет равно
N(ni) =N·W(ni),
где W(ni) – вероятность появления точноniимпульсов, число которых пропорционально количеству распадающихся ядер за этот же промежуток времени.
Эта вероятность определяется с помощью биномиального закона распределения вероятностей (2.5), если известно полное число возможных событий N0и времяtкаждого измерения. Но величиныN0 иtнеизвестны, и использовать формулу (2.5) не представляется возможным. Однако в случаеn <<N0 иt<<T1/2биномиальный закон распределения вероятностей (2.5) может быть представлен в виде распределения Пуассона (2.8). Тогда
N(ni) =N,
и
N (n1) = 200076;
N (n2) = 2000.
Задача 2.36
Среднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радионуклида с большим периодом полураспада составляет 100,0 имп./мин. Определить вероятность получения 105 имп./мин, а также вероятность того, что абсолютное отклонение ε1 от среднего числа имеет значение, большее 5,0 имп./мин.
Решение. Согласно условию задачи, предполагаем, что время проведения измерений существенно меньше периода полураспада исследуемого радионуклида и для вычисления искомых вероятностей можно воспользоваться распределением Пуассона (2.8). Однако использование формулы (2.8) технически затруднительно, т.к. связано с вычислением факториалов больших чисел и возведением чисел в степени с большими показателями. Получить более удобную для вычислений форму можно, если воспользоваться утверждением центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятности, согласно которой при μ >> 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение с дисперсией, равной μ:
. |
(2.36.1) |
Тогда
.
Очевидно, что сумма вероятностей появления любого значения скорости счета импульсов от = 0 и доравняется единице. Тогда
(2.36.2) |
Используя формулу (2.36.1), вычислим
. |
Таким образом,