- •Министерство рф по связи и информатизации
- •Средства обеспечения освоения дисциплины
- •Идеальные источники электрической энергии
- •Понятия об электрической цепи и схеме
- •Расчет цепей на постоянном токе
- •Законы Кирхгофа
- •Переменные токи и напряжения Основные понятия и параметры
- •Понятия о комплексных и полных сопротивлениях электрической цепи Если напряжение гармоническое , то ток то же будет гармоническим
- •Гармонический ток в пассивных элементах электрической цепи
- •Параллельные rlc - цепи
- •Принцип дуальности в электрических цепях
- •1 Закон Кирхгофа 2 закон Кирхгофа
- •Метод токов ветвей (мтв)
- •Метод контурных токов
- •5. Общая стандартная форма записи системы уравнений по мкт
- •6. Применение мкт
- •Принцип и метод наложения в теории цепей.
- •Теоремы об эквивалентных источниках или генераторах (Теорема об автономном двухполюснике)
- •1)В первом случае получим вместо активной цепи пассивизированную цепь (без внутренних источников):
- •2) Поставим задачу, чтобы .
- •Теорема обратимости или взаимности
- •Примеры
- •Последовательный колебательный контур
- •Частотные характеристики последовательного контура
- •Влияние внешнего сопротивления на избирательность контура
- •Параллельный колебательный контур (простой)
- •1. Идеализированный контур
- •2. Реальный параллельный контур - это цепь из параллельно соединенных конденсатора и катушки индуктивности.
- •3. Частотные зависимости параллельного контура
- •Расчетные графики частотных зависимостей напряжения
- •Сложные параллельные контуры
- •Расчет мощности в комплексной форме
- •Электрические цепи с взаимно индуктивными связями и методы их расчета Основные понятия о взаимной индукции
- •Последовательное и параллельное соединения индуктивно связанных элементов
- •1. Последовательное соединение
- •2. Параллельное соединение
- •Электрический трансформатор
- •1. Идеальный трансформатор при гармоническом воздействии.
- •2.Уравнения и схемы замещения реального трансформатора (двухобмоточного, без ферромагнитного сердечника)
- •3. Входное сопротивление реального трансформатора
- •Переходные процессы в электрических цепях Основные понятия о переходных процессах
- •Законы коммутации
- •Начальные и конечные условия
- •Схемы замещения элементов в различные моменты времени
- •IL (0_) l пост
- •2) Не нул. Нач. Усл. L ul→источник тока
- •Схемы замещения l и c зависят от источника. Классический метод расчета переходных процессов
- •Анализ переходных процессов в rlc цепях классическим методом Последовательные rl и rc цепи
- •2Закон Киргофа
- •2) Если отключить на перемычку, то все процессы пойдут в обратную сторону → индуктивность и емкость будут отдавать накопленную энергию.
- •, Откуда .
- •Отключение источника в последовательной rlc-цепи
- •Расчет переходных процессов в сложных цепях
- •1Ур по 1 закону Киргофа и 2ур по 2закону Киргофа
- •Преобразования Лапласса
- •1 Закон Кирхгофа
- •2 Закон Кирхгофа.
- •Операторные схемы замещения реактивных элементов
- •Нахождение функции времени в операторном методе
- •Операторные передаточные функции
- •Методы расчета передаточных функций
- •Временные характеристики электрических цепей
- •Методики расчета временных характеристик
- •Пример нахождения временных характеристик
- •Расчет откликов в электрической цепи на кусочно-непрерывное воздействие. (Интеграллы Дюамеля и наложения)
- •Определение отклика на прямоугольный импульс.
- •Интегрирующие цепи
- •5. Спектральный метод расчета в электрических цепях
- •5.1.Понятие о спектре периодического сигнала
- •5.2.Спектральный анализ и синтез на основе рядов Фурье
- •5.3.Графическое временное и частотное изображения спектра периодического сигнала
- •5.4.Спектр последовательности прямоугольных импульсов
- •Понятие о расчете цепей при периодических сигналах
- •5.6.Понятие о спектре непериодического сигнала
- •Если , то. Если , то.
- •Спектры некоторых типовых сигналов
- •Понятие об энергетическом спектре одиночных сигналов. Ширина спектра
- •5.9.Спектральный или частотный метод расчета в тц
- •5.11.Прохождение импульсных сигналов через цепь с ограниченной полосой пропускания
- •1) Сигнал δ(t) – единичная импульсная функция
- •2) Σ(t) – единичная ступенчатая функция(скачок)
- •3) Прямоугольный импульс
- •Нелинейные электрические цепи Основные понятия о нелинейных цепях
- •2) Дифференциальным сопротивлением
- •Расчет простейших нелинейных резистивных цепей
- •1) Последовательное соединение
- •2) Параллельное соединение
- •3) Смешанное соединение
- •4) Сложное соединение с одним нелинейным элементом
- •Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •6.4. Определение реакции нелинейного элемента на гармоническое
- •Решая данную систему уравнений относительно неизвестных спектральных составляющих можно найти амплитуды гармоник.
- •Спектр амплитуд тока диода
2) Параллельное соединение
При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам и строится итоговая ВАХ путем сложения токов резисторов при одинаковых напряжениях.. Далее на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью. Из точки пересечения перпендикуляра с кривойопускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостейопределяются токив ветвях с отдельными резистивными элементами.
Использование данной методики иллюстрируют графические построения на приведенных выше рисунках.
3) Смешанное соединение
Последовательно строятся результирующие ВАХ: сначала для последовательного соединения, затем для параллельного.
4) Сложное соединение с одним нелинейным элементом
В данном случае используется теорема об эквивалентном источнике (генераторе) напряжения или тока (вся цепь, кроме одного нелинейного элемента, заменяется эквивалентным источником и эквивалентным сопротивлением).
Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт - амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных приборах, не выражаются аналитически.
Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) называется аппроксимацией. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зависимости и аппроксимирующей ее функции.
В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков прямых линий).
Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = fun(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала Umin ≤ и ≤ Umax, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).
О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой ξ(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b, т. е. по величине
Δ= max│ f(x)- ξ(x)│
Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации.
Иногда под близостью двух функций f(x) и ξ(x) понимают совпадение в заданной точке
x = Хо самих функций и п + 1 их производных.
Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и ξ(x) в выбранных точках (узлах интерполяции) Xk, k = 0, 1, 2, ..., п.
Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.
В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = f(u) в пределах ее рабочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.
Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.
Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:
Из этой системы находятся коэффициенты а0, а1, а2, …, аn.
В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).
Можно использовать экспоненциальный полином:
Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору. В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.
Аппроксимация по Батерворту: выбирается простейший полином:
В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.
Аппроксимация по Чебышеву: является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции ξ(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность
f(x) - ξ(х) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f(x) - ξ(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - ξ(х) = -L значения (критерий Чебышева).
Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(x) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f(x) от заданной непрерывной функции ξ(х), т. е., из условия:
b
Λ= 1/b-a∫a [f(x)- ξ(x)]2 dx = min . (7)
В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов ak аппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений
дΛ ∕дa0 =0; дΛ ∕дa1 =0; дΛ ∕дa2 =0, . . . , дΛ ∕дan =0. (8)
Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае — численно.
Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:
В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.
В пределах каждого из линиаризированных участков вольт - амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.
Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт - амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых.
Подобная аппроксимация вольт - амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелинейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = Iмах