Схемы замещения l и c зависят от источника. Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов основан на непосредственном решении системы дифференциальных уравнений, составленных для электрической цепи на основе законов Кирхгофа.

В этом случае решение ищется в виде i_k(t)= i_k(t)_{свободная} + i_k(t)_{установившееся}

Свободная составляющая действует в цепи при отсутствии источника в свободном режиме и является общим решением однородного дифференциального уравнения.

Установившаяся составляющая устанавливается источником, теоретически при t→∞ и является частным решением неоднородного уравнения, т.е. определяется правой частью уравнения. Может быть постоянной, если действует источник постоянного тока, гармонической, если гармонического тока(~) и периодической, если действуют источники периодического тока (напряжения).

Запишем общее решение однородного дифференциального уравнения

где Pm - корни характеристического (вспомогательного) уравнения, соответствующего дифференциальному, а A_Кm - множители, определенные с применением начальных и конечных условий.

Готовое решение проверяют при t=0 и t→∞, сравнивая с результатами, которые получаются по схемам замещения при тех же моментах времени.

Анализ переходных процессов в rlc цепях классическим методом Последовательные rl и rc цепи

RL RC

t=0_

(1) независимые начальные условия

i(0_)=0=i(0) →1 закон коммутации

uc(0_)=0=uc(0)→2 закон коммутации

t=0

2Закон Киргофа

t=∞

Используя начальные условия

Индуктивность и емкость накапливают энергию.

Для оценки временных свойств цепи вводят понятие «постоянной времени» свободной (экспоненциальной) составляющей цепи.

Постоянные времени показывают за какой промежуток времени свободная экспоненциальная составляющая уменьшится по абсолютной величине в e раз (≈2,72). За 3τ уменьшение идет в 20раз, за 5τ ≈100раз.

За длительность переходного процесса берется промежуток времени за который процесс заканчивается на 95- 99% (или в остатке 5-1%). Тогда длительность переходного процесса оценивают величиной (3-5)τ. За 3τ процесс заканчивается на 95% ; за 5τ на 99%.

Если отключить источник, то (в зависимости от того как отключать)

1. размыкаем i=0 и в последовательной RL – цепи возникает электрическая дуга между размыкающимися контактами за счет энергии катушки индуктивности. В последовательной RC цепи емкость будет держать некоторое время заряд и потом разрядится довольно медленно за счет сопротивления изолятора.

2) Если отключить на перемычку, то все процессы пойдут в обратную сторону → индуктивность и емкость будут отдавать накопленную энергию.

Переходные процессы в RLC цепях

Последовательная RLC цепь

Подключение источника постоянного напряжении

1. Независимые начальные условия

i(0_-) = 0 = i(0) , u_c(0_-) = 0 = u_c(0).

2. t = 0 зависимые н. у.

u_R(t) + u_L(t) + u_c(t) = E

0 + u_L(0) + 0 = E

3. t

i() = 0=i_УСТ u_R() = 0 u_L() = 0 u_c() = E

, p²+(R/L)p+(1/LC)=0,

. Корни уравнения:

, .

Определим коэффициенты А₁ и А₂. При t=0

Окончательно получаем:

Проверка .

4) Определим напряжения u_R, u_L, u_C.

В зависимости от сопротивления R различают различные режимы работы цепи.

1) . Получаем, что p₁ и p₂ – разные вещественные и отрицательные.

0

0

Такой режим работы называют апериодическим.

2) R=R_кр – критический режим работы

=р<0

Графики примерно такие же, но более резкие.

3)

Корни p₁ и p₂ комплексно сопряженные.

, где - частота свободных колебаний

(ω₀ – резонансная частота).

- убывающая по экспоненте синусоида.

0

Режим переходного процесса называется колебательным. Происходит зарядка и разрядка конденсатора. В цепи происходит обмен магнитной и электрической энергиями.

–переходное напряжение на резисторе;

–переходное напряжение на индуктивности.

Найдем выражение для емкости .

Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

.

Из нулевых начальных условий i(0)=0 , u_C(0)=0 получим систему уравнений:

, ,.

Поскольку , то,.

После преобразований получим уравнение: