Математика Яцкевич, Раевская 2012

П п р имер 4,45. Найти уравнения прямой, проходящей через две точки М\(2; 2; 2) и Мг(6; 2; 1),

Решение . Воспользуемся уравнениями (4.64):

Запись уравнений прямой в канонической форме сохраняется и;

вслучае обращения отдельных координат вектора s в ноль. Если

взнаменателе стоит ноль, то нулю нужно приравнять и числитель,

\У- 2>

[x + 4z-10 = 0,

этом параметрические уравнения имеют вид:

х=2 + 4(,

У= 2,

z =2-t.i&

х - 2 у +3 : +1

П п р имер 4.46. Найти угол между прямыми

- 8

хv -4 z+ 1

и— = -----= ------

11 -8 -7

Решение . ^ (7 ;2;-8 ) и (11; —8; —7) - направляющие век­

торы первой и второй прямых соответственно. Тогда по фор­ муле (4.69)

80

прямых: 5j(4;3;-2), S2(- 8;-6;4). Так как координаты этих векторов

4 3 - 2

пропорциональны: — = — = — , то sx|| s2. Следовательно, данные

—8— 64

прямые параллельны или совпадают. Возьмем точки A/j(2; 0; -1)

и Мг{5; 4; 3), лежащие на прямых. Получим вектор М ХМ2 =(3;4;4).

Таккак М ХМ2^ и МХМ2]|-s2, то прямые параллельны.

2) Координаты направляющих векторов ?( (2;-3; 1), s2(3; 2;4) дан-

мыелибо пересекающиеся, либо скрещивающиеся. Проверим условие

принадлежности двух прямых одной плоскости: (?1,?2,М1М2)= 0.

Данные прямые проходят через точки М\(0\ 1; -2) и М2(-4; -3; 1). Имеем:

Следовательно, данные прямые - скрещивающиеся, ф

Ппр имер 4.48. Общие уравнения прямой (x +2 y -3 z + 2 =0,

12х - 2у + z - 5= 0,

преобразовать к каноническому виду.

81

Условие пересечения прямой и плоскости:

0 <» Ат +Вп + Ср Ф0;

условия параллельности прямой и плоскости:

Условия, при котором прямая (4.70)лежит в плоскости (4.70а):

+ Вуо + CZQ + D —0, |^v4xq + Byq + CZQ + jD = 0.

Углом между прямой и плоскостью называется угол ф (острый) между прямой и ее проекцией на плоскость. Величина угла ф опре­ деляется по формуле:

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удоб­ но использовать параметрические уравнения прямой (4.63):

х =х0 + mt,

y = y0 +nt,

■= z 0 +pt .

83

и = (l; —2; l) . Уравнения перпендикуляра к плоскости, проведенно­

го через точку М х, имеют вид (s =п= (l;-2;l)):

(х = 3+ (,

х - 3 у - 4 _ z - S ,

( = t ) o \ y = 4 -2t,

-

Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоскостью найдем, решая систему (4.76):

jx = 3+t;y =4 - 2t;z =S+t;

[х - 2у + z - 6 = 0.

Подставляя выражения для х, у, z в последнее уравнение систе­ мы, получим:

(3+ /) - 2(4 - 2t)+ (5+ 1)-6 = 0 o 6 f - 6 = 0 o f = l.

Теперь, подставляя найденное значение t в х, у, z, будем иметь: x - 3 + l =4;y =4 - 2 = 2;z =5+ l =6, т.е. N(4;2;б) - точка пересе­ чения перпендикуляра и плоскости. А так как N - середина отрезка

4.16. Кривые второго порядка

Считаем, что на плоскости задана прямоугольная декартова сис­ тема координат Оху,

Уравнением второй степени с двумя переменными называется уравнение вида

Ах2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F =0, А2 +В2 +С2 *0 . (4.77) )

85

Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют какому-либо урав­ нению 2-й степени (4.77).

Линиями 2-го порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола. Рассмотрим уравнения этих линий в наиболее простом (каноническом) виде, который достигается определенным выбором системы координат.

4.16.1.Окружность

Оп р е д е л е н и е . Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки N(a,b), называемой

центром, на одно и то же расстояние R, называемое радиусом ок­ ружности (рис. 4.18).

Каноническое уравнение окружности имеет вид

Т И И И И Щ М М И И И И Н И Я И И Ц Я Ц ...АнЬмЯЯИИИИИ— — Ё

В частности, если центр окружности совпадает с началом коор­ динат, т. е. а = b - 0, то уравнение (4.78) имеет вид

86

4.16.2.Эллипс

Оп р е д е л е н и е . Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных

точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы эллипса и F2,= 2с, расположить на оси Ох

симметрично относительно начала координат, то Fx(е;0), F2(-c;0). Обозначив через 2а сумму расстояний от точки кривой до фокусов (2а > 2с), получим каноническоеуравнение эллипса:

В этом уравнении a>b;b> 0 и числаа, 6, с связаны соотношением:

87

У

Рис.4.20

Числа а и Ъ называются полуосями эллипса, а —большая полу­ ось, b -малая полуось.

Точки Аг(а;01Л2(- <я;0), Б\(0;b) В2(-Ь;0) называются вершинами эллипса (это точки пересечения эллипса с осями координат), точка <3(0;0) -- центром эллипса. Эллипс, заданный уравнением (4.80) изо

бражен на рис. 4.19.

Эксцентриситетом эллипса называется число s, равное отноше­ нию расстояния между фокусами эллипса 2с к длине большой оси 2а.

Замечания. 1)При а <Ь уравнение (4.80) также задает эллипс, но его фокусы лежат на оси Оу, при этом с2 = b2 - а2;Fx(0;-с);|

F2(0;C},£ = ~ (рис. 4.20).

О

88

2)Если a = b, то уравнение (4.80) определяет окружность радиуса

ос центром в начале координат: х2 + у 2 = а1. В этом случае с = 0.

Следовательно, окружность - это частный случай эллипса с совпа­ дающими фокусами, при этом 8 = 0.

3) Уравнение эллипса с осями параллельными координатным имеет вид

(4лзГ|

____________________ а"_______ b~________________________I

где х0, _у0 - координаты центра эллипса.

4)Уравнения: -j , /e|0;27tj, являются параметрически-

=6sinf

ми уравнениями эллипса.

4.16.3.Гипербола

Оп р е д е л е н и е . Гиперболой называется множество всех то­ чекплоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двухданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля. Если

фокусы гиперболы Fx и F2,\FXF2\= 2с, расположить на оси Ох сим­

метрично относительно начала координат: Fx(с;0), F2(-c;О); и обо­ значить модуль разности расстояний от точки кривой до фокусов через 2а(0 < а < с), то каноническоеуравнение гиперболы имеет вид:

Гипербола (4.84) пересекает ось Ох в точках Ai(a;0^A2( - а;0), которые называются вершинами гиперболы, а ось Оу гипербола не пересекает.

89