Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdf3) уравнение одной из асимптот у = —х , а действительная полу- 4
ось равна 6.
6.Составьте каноническое уравнение параболы, если:
1)ее вершина совпадает с началом координат, а фокус находится
вточке Н2;0);
2)ветви направлены вверх, а параметр равен 4;
3)уравнение директрисы у =3, а фокус находится в точке F(0;~3);
4)ее вершина совпадает с началом координат, парабола прохо дит через точку М0(9;-б) и ось абсцисс является осью параболы.
7.Определите вид и расположение линии 2-го порядка:
1)9дс2 + 4у2 —1 8jc-ь 16jv—11 = 0;
2)9x2 -16v2 +54x + 6 4 у -127 = 0;
3)JC2 -Ю х -8^ + 49 = 0;
4)у 2 - 2 х - 4 у - 2 = 0 ;
5)4*2 - 9 у 2 -16л-18> + 7 = 0;
6)х2 + 4у2 + 4x-32j>+ 68 = 0.
Ответы к теме 6
1.1) а) д = 4; Ъ= 5; б) 2с = 6; в) 8 = | ; г) Fx(0;-3), F2(0;3);
д) (4;0), (- 4;0), (0;5>, (0;-5); 2) а) а = 5; Ь= 4; б) 2с = 6 ; в) в = | ;
г) |
F,(3;0), F2(- 3;0); д) (5;0\ (- 5;0> (0;4)- (0;-4); 3) а) а =12;Ь = 5 ; |
|
б) 2с = 26; в) е = |
; г) ^(0;-13),^2(0;13); д) ^(0;-5), Л2(0;5); |
|
|
|
5 |
|
5 |
13 |
е) у = ±— JC; 4) а) а = 12;6 = 5; б) 2с = 26; в) е = — ; |
||
|
12 |
12 |
г) |
(13;0Х^2(-13;0); д) Л,(-12;0), 4>(l2;0); е) У = ± ~ х . |
|
180
6. \ ) у 2 =Ъх; |
2 )х 2 =Ъу, |
3 )х г =-12у; |
4 ) у г =4х. |
7. Во всех задачах новые координатные оси Ох, Оу, Oz сонаправлены старым, начало координат новой системы координат находит ся в точке О'.
2)гипер&ола — - — = 1,0 \ - 3;2);
3)парабола X 2 - 87,0'(5;3);
4)парабола Y2 - 2Х, 0'(- 3;2);
5)пара пересекающихся прямых 2х - Зу - 7 = 0 и 2х +3у - 1 =0;
6)точка 0'(- 2;4).
Тема 7. Поверхности второго порядка
1, Определите вид поверхностей и их расположение относитель но координатных осей:
16 + 25 100
181
7) |
25 |
_ _ £ l = _ i ; g) i l + £ l = -2 x ;9 ) — + — = 1; |
||||
16 |
100 |
16 |
25 |
16 |
100 |
|
2' 2
10)i — — = 1; 11) z 2 =l'Sx. 16 25
2.Привести к каноническому виду уравнение 2-го порядка, исполь зуя преобразование параллельного переноса, определить вид поверх ности и ее расположение относительно новой системы координат:
1)9х2 + 4_y2 +4z2 -18* + l6 z - ll = 0;
2)9х2 + 4;у2 - 4z2 - 18* - 16z - 43 = 0;
3) 9х2 - 4 у 2 +4z2 + 18* + 16z + 25 = 0;
4) 9у 2 +4z2 =36*+ 72; |
5) |
х2 + у 2 + 6jc-4j + 12 = 0; |
6) у 2 =4*+ 16; |
7) |
х2 +у2 +z2+ 6*-4> + 2z-10 = 0. |
Ответы к теме 7
1. 1) эллипсоид; 2) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Oz; 3) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Ох; 4) двуполостный гиперболоид, вытянутый вдоль оси Оу; 5) эллип тический параболоид, вытянутый в положительном направлении оси Oz; 6) конус, вытянутый вдоль оси Ох; 7) однополостный ги перболоид, вытянутый вдоль оси Ох; 8) эллиптический параболоид, вытянутый в отрицательном направлении оси Ох; 9) эллиптический цилиндр, образующие параллельны оси Оу; 10) гиперболический цилиндр,, образующие параллельны оси Оу; 11) параболический ци линдр, образующие параллельны оси Оу.
2. Во всех задачах новые координатные оси OX, OY, OZ сонаправлены старым, начало координат новой системы координат на ходится в точке О ',
X 2 |
Y2 |
7 2 |
|
|
1) эллипсоид — +— + — = 1;0'(l:O;-2); |
|
|||
4 |
9 |
9 |
4 |
2^2 |
|
|
|
j^2 jr2 |
|
2) однополостный |
гиперболоид |
~^~ + ~ ------— = 1, |
вытянутый |
|
вдоль оси OZ, 0'(l;0;-2);
182
3)конус второго порядка 9Х2 - 4 Y 2 + 4Z2 = 0, вытянутый вдоль оси 07, 0'(-1;0;-2);
4)эллиптический параболоид — + -^- =Х , вытянутый в поло
жительном направлении оси ОХ, 0'(- 2;0;0);
5) эллиптический цилиндр (круговой) X + 7 = 1 , образующие параллельны оси OZ, 0'(-3;2;0);
6)параболический цилиндр 72 = 4 Х , образующие параллельны оси OZ, 0'(- 4;0;0);
7)сфера X 2 + 72 +Z2 = 4, 0'(-3;2;-l).
Тема 8. Пределы функций
Найти следующие пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
1. |
Нш(2д:2 + 2 * -з).2 . |
lim (х + з)2^ - ! ) . 3. |
lim— |
|
|
. |
|||||||||
х Л |
|
|
> *-»-з |
|
; |
|
|
*-*о2х + х - 3 |
|||||||
. |
л/^ + 1 |
_ |
lim |
4 |
. 6. |
lim |
х3 - 8 |
|
п |
|
Зле2 -27 |
. |
|||
4. hm -р=— . 5. |
|
|
. 7. |
lim—- |
------ |
|
|||||||||
|
V * — 3 |
|
Х - Х О Х + 1 |
|
4 х—- х* 2 |
|
|
|
>3 х |
— 8 1 |
|
|
|||
8. |
X2 |
6*+ 5 |
А |
|
8дг3 —1 |
. 10. |
lim |
л/Г+8-3 |
. |
|
|||||
lim— |
------------25 |
. 9. lim— 5-------------- |
|
х - \ |
|
||||||||||
|
х |
х->!бх |
-5х + 1 |
|
*->1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Ш Щ |
* Ь ± л г . U m ^ . U . |
|
|
х |
|
|
|
||||||||
|
*->4 -Jx-2 |
|
*->0sin5* |
*-*о |
|
|
|
||||||||
Ы. |
*-*° |
ЗдГ |
|
|
*-»<> |
|
16. |
lin, |
*g23l . . |
||||||
|
|
|
2x |
|
.r^otg2 5x-cos2jc |
||||||||||
|
|
sin3x |
, 0 |
|
|
x$-2 x |
|
|
|
|
x3 +2x |
||||
17. h m -^ = = ---- |
.18. hm — ;----- |
---- .19. lim—;------ |
|
r---- |
|
||||||||||
|
M °Vx + 4 - 2 x~*^2x + x |
+1 |
|
|
|
x-+<x> |
- 3 x +4 |
||||||||
20. lim— |
2x |
~ — . 21. |
|
lim- * +2* + 1 .22. l i m i j x ^ x - x |
|||||||||||
|
x~*a‘ |
+1 |
|
*->■» |
x —X +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
23. |
lim |
|
|
|
|
|
f x + 5^ |
|
. 25. |
|
|
^ x+1 |
|||
|
x2 - 4 |
.24. lim |
|
|
lim1X ^ |
|
|||||||||
|
x—>2 x - 2 |
|
x-*xyx + 4 |
|
|
|
*->»l x + 5 |
|
|||||||
183
|
26. lim ' 2 x - l ' x .27. lim (l-7л)37*.28. |
lim / 2x + l |
|
|
|
||||||||
|
* -ю о |
2x + 3 |
|
x->0 |
|
|
X->oo 6 x - 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
-2дс _ i |
|
lim x(ln(x + 2)- lnx). |
|
|
|
|
||||
|
29. lim---------. 30. |
|
|
|
|
||||||||
|
дг->0 |
5.X |
|
|
x->oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы к теме 8 |
|
|
|
|
|
||
I. |
1; 2. |
0; |
3. - 1 /3 ; |
4. |
а>; 5. 0; |
6. |
- 3 ; 7. 1/6; |
8. 2 /5 ; 9. |
6; |
10. |
1/6; |
||
II. |
3 /2 ; |
12. 2 /5 ; |
13. |
1/2; 14. - ^ /3 ; |
15. 7 /2 ; |
16. |
9 /2 5 ; 17. |
12; |
18. |
1/2; |
|||
19. |
0; 20. оо; 21. 5; |
22. 3 /2 ; 23. |
1/4; 24. е2; |
25. е~п; 26. е~2; 27. е~п; |
|||||||||
28. |
0; |
29. |
- 2 /5 ; |
30. |
2. |
|
|
|
|
|
|
||
Тема 9. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация
Исследовать функции на непрерывность. В случае существова ния точек разрыва установить их тип:
Зх + 1 |
2- /(*) = |
х2 + 2 |
3. /(*) = |
__ 1_ |
!• /(*) = X + Х + 1 |
х -3 |
1+21/х |
||
sin 2х |
|
|
|
|
4- /(*) = |
|
|
|
|
х:(х2 + 1) |
|
|
|
|
- х 2,х<0 |
|
|
2 - х, х < 0 |
|
5. /(х) = х + 4,0 ^ х <2, |
6. /(*)= |
х + 2,0<х<1 |
||
6, х £ 2 |
|
|
- , х > 1 |
|
|
|
|
|
|
Ответы к теме 9
1.Непрерывна на R. 2. х = 3 -точка разрыва 2-го рода.
3.х = 0 - точка разрьюа 1-го рода. 4. х = 0 - точка устранимого
разрыва.
5.х = 0 - точка разрыва 1-го рода. 6. х = 0 - точка устранимого разрыва, х —1 —точка разрыва 1-го рода.
184
Тема 10. Производные функций Найти производные первого порядка явно заданных функций:
1. |
у = —х5 -4х3 +3х~4.2. у = т[х* |
. 3. у = lnx-7* +тс2. |
|
|||
|
|
5 |
у х |
|
|
|
4. |
у = е2х cosx ,5.. уу~= Щ . 6 . > = - № |
ч . |
7. S = (2 -3 t-S t5J |
|||
|
|
2 - х 2 |
3\1 + х |
J |
V |
7 |
8. |
p = 5cos3(l-2<p). 9. у = Ы х + ^9 + х2 j. 10. >>= arctg25x. |
|
||||
11. у = log2 arccos\/x . 12. £ = 2sin3 v2. 13. у = |
. |
|
||||
|
7 |
62 |
|
|
ln(cos2x) |
|
14. у |
= logjj P -3cos— .15. у = lnarctg5* .16. |
у = x3 arccosln2 x . |
||||
V3у
17.у = sm(s;rctg3'*). 18. r = cos2(psin<p2. 19. y =(tgx)4_JC .
JL
20.у = (cosx)5/JC.21. y = x 2x . 22. у = (arctgx)I+* .
Найти производные указанного порядка явно заданных функций:
23. |
2 |
с/4г |
у =—г,у " = ? 24, ?* = 5cos2<p,— - = ? |
||
|
х |
dq> |
25. |
f(x)= x5 - 4 х 4 -3, /^ ( l) = ? |
26. f(x) = e3x+1, r ( 0) = ? |
Найти — функций, заданных неявно: dx
27.2х2 +у2 + 5ху-4 = 0. 28. ху3 -+-cos(x+ jy)= 7i.
29.(jc - 4)2 +(>- + 3)2 =25. 30. у 2е2у = 2е3л_1.
31. Зх4 - л>’ + 5у2 = 2.32. 2 у -3 х 2 =1пу.
185
|
|
dv |
d у |
|
, |
|
|
|
|
|
Найти — , — j- |
для функции, заданных параметрически: |
|||||||||
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
\x = 3t |
|
* = acosr |
\x = e ■at |
[ * = arccos? |
|||||
33. \ |
. |
34.-1 |
|
35. |
|
|
36. < |
|
||
|
[y = 2t3 |
(y = osin/ |
\y = e |
[y: |
? |
|||||
|
* |
|
= arctgf |
* = tg t |
|
|
|
|
||
|
/ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
3 7 J |
,4 38. S |
|
|
|
|
|||||
|
b |
= M l + r ) |
|
У -'cost |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ответы к теме 10 |
|
|
|||
1. x4 - \2x2 + 3.2. ~ \lx‘2 +' - .1r |
.3. ~- 7*ln7 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
xlfx |
|
|
|
|
, |
2г/ |
. |
ч |
, |
Зх'' +10* + 6 |
, |
l-2*arctg* |
. |
||
4. |
e |
(2cos*-sm*J.5. — ----- -гг— .6. — |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(2 - x 2) |
|
3(l +jc2/ |
|
|
7. |
4(2 - 3/ -8f5J(-3 -4 0 f4). 8. 30cos2(l - 2<p)sin(l- 2ф). |
|||||||||
|
V9 + *2 |
|
1 + 25* |
.11. |
2 In2 ^ x - x 2 arccosV* |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
12.12vcosv |
2 - 2 2 |
.^ |
2(ctg2*In(cos2*)+ tg2.*ln(sin2x)) |
|||||||
sm |
v |
13. |
------v------1— 5 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
In2 (cos 2*) |
|
||
|
|
ЗГ + sin— |
|
5XIn5 |
|
|
|
|||
14. |
_________ 3 |
|
|
|
|
|
||||
|
15. |
|
|
|
|
|||||
|
t3 -3cos-|ln5 |
|
arctgS^l + 52x) |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
16. *2 |
3 arccosIn2*-- |
21n* |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
л/l —In4 * |
|
|
|
|
|
17. C 0s(5j:stg3;c) 5 j:ctg3jl I n s f c t g 3 * - |
3* |
|
|
|||||||
sin |
3* |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. 2фсоз2фсо8ф2 -зш2ф8тф2.
19. |
A-x* 4) - x 2 |
|
- 5(lncosx + xtgxXcosx)5^ |
||
2(tgjc) |
-xlntgx . 20. |
|
|||
|
sin2x |
|
|
|
|
21. |
1= ^ 1 . XT,.2Z |
' 2xlnarctgx + |
1 |
(arctgx)1+* . |
|
arctgx |
|||||
|
2xz |
|
|
||
23.420 . 24. 80cos2m. 25. 24. 26.27e. 27. - 4x - 5у
|
хк |
|
|
|
|
2y + 5x |
|
28. |
sm(x + y ) - y 3 |
29 4 - x |
^ |
3e3x-l |
^ |
y - l2 x 3 |
|
3xy2 - sin(x + у) |
у + 3 |
30. |
|
.31. |
10;y- x |
||
|
|
ye2y(l + у) |
|||||
32. |
- ^ . 3 3 . Г;— .34. —ctg/; ——r—. 35. - e lal;2e3at, |
||||||
|
2 y - l |
6t |
6 |
asm |
f |
|
|
36. t ; - ^ l - t 2 . 37. 2^;2(l + /2). 38. sin?;cos3/.
Тема 11. Правило Лопиталя для вычисления пределов функций
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
.2 |
|
|
|
|
1. |
. |
х |
- 1 х |
+ 4х + 2 |
„ |
,. |
5х |
z |
+х-1 . |
.. xcosx-sinx |
||||
lim |
|
|
х3 - 5х + 4 |
-. 2. |
lim |
х2 + 4х + 2 |
. 3. |
lim: |
||||||
*->i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
е7х-1 |
|
|
е*-е~х - 2 х |
|
|
|
3 |
|||||
4. lim--------.5. lim---------------- .6. limх sin—. |
||||||||||||||
JC—>о |
|
tg3x |
|
x-*o |
x - sm x |
|
|
|
|
|
||||
7. |
lim |
|
|
lnx |
|
|
/ |
|
|
|
.9. |
lim |
|
|
|
|
8. lim |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
,3/x |
|||||||
*-»0l + 21nsinx |
*->1 X -1 |
InX |
|
|||||||||||
10. mulim—7----r-.ll. |
Iimxsinjt. 12. |
lim(cos2x)1/r |
||||||||||||
|
*-»0ln(l + x) |
x-*0 |
|
|
|
x-*0 |
|
|
||||||
13. |
lim |
|
|
|
. 14. |
limfe* +х}/Я. |
|
|
|
|
||||
|
л->0\ л J |
|
|
*-*ov |
’ |
|
|
|
|
|
||||
Ответы к теме 11
1.7/2; 2. 5; 3. -1/3; 4. 7/3; 5. 2; 6. 3; 7. 1/2; 8. 1/2; 9. 2/3; 10. 2; 11. 1;
12.е'2; 13.1; 14. е2.
187
Тема 12. Исследование функций. Построение графиков функций
1.Найти интервалы возрастания и убывания функций: а) у = 15 -х2 ~2х; б) у = 2х3-6 х 2 -18х + 7 ;
2.Исследовать функции на экстремум:
а) у = 4х3 - 9х2 + 6 х ; |
б) у =е3х - Зх + 2; |
|
2х |
ч |
1 2 |
•»)>' = ------2 ’ |
r ) y |
= x l n x . |
I+ X
3.Найти наибольшее и наименьшее значения функций на задан ных промежутках:
а) у = 2х3 + Зх2 - 12х + 1 на)[-1;5]; |
б) j = xlnx-xHa[l/e;e]; |
|
в) у = |
на [0;4]; |
г) у = arctg^--- на [0;l]. |
|
х+1 |
1+х |
4. |
Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба |
|||
графиков следующих функций: |
||||
|
У |
л ' 2 |
’ |
г) у - (;с +2Х^ - З)2, |
|
|
|||
5. Найти асимптоты графиков функций: |
||||
|
|
|
|
X 9 |
в) у = |
— ; |
|
г) у =Зх + arctgSx . |
|
|
|
х2 -9 |
|
|
6. |
Исследуйте функции и постройте их графики: |
|||
Ответы к теме 12
1.а) (- со;-]) - возрастает; (-1;+оо) - убывает;
б) (-°o;-l)U(3;+oo) - возрастает; (-1;3) - убывает;
в) (—1;—1/ л/2)U(l/ л/2;l)-убывает; (—1/л/2;1/ л/2) -возрастает; г) (-oo;-l)U(0;l) - возрастает; (-l;0)U(l;+°°) - убывает.
2. а) х = — - |
локальный максимум, |
5 |
|
- |
локальный |
|
у{— = —, JC= 1 |
||||||
2 |
|
|
\ 2 . 4 |
|
|
|
минимум, у(l)=1; б) jc = 0 - локальный минимум, >(о) = 3 ; |
||||||
в) х = - \ - |
локальный минимум, |
j( - l) = - l; |
х = 1 |
- |
локальный |
|
максимум, y(l)=l; |
|
|
|
|
|
|
г) х =е~г - |
локальный максимум, у(е_2)= 4/e2,x = l |
- локаль |
||||
ный минимум, y(l) = 0. |
|
|
|
|
||
3- а) укаим. = y(l) = -6; унаиб = у{5) = 266; |
|
|
|
|||
Унаиб. ~ у (?) ~ |
У найм. ~ ^ ( 0 — ~ ^ |
5 |
|
|
|
|
® ) Унаиб. ~ У ^ ) ~ |
Унаим. ~ . у Ф ) — —^ ’ |
|
|
|
||
Унаиб. ~~ у (®) ~~ |
■>Упагш. ~~3 ^ ( 0 — ® • |
|
|
|
||
4. a) (-oo;-l)U(l;+°o) - функция выпукла; |
(- l;l) |
- |
функция |
|||
вогнута; |
(-1;1п2),(1;1п2) - точки перегиба; |
|
|
|||
б) (о;-^) - функция выпукла; |
(-°°;0)u(-^;+°° |
- |
функция |
|||
вогнута; |
|
—;11 - точки перегиба; |
|
|
|
|
в) (-°o;0)U(0;+oo) - функция вогнута; точек перегиба нет; |
||||||
г) (-со;4/з) - функция выпукла; |
(4/3;+оо) |
- |
функция |
|||
вогнута; |
'4 |
250 |
|
|
|
|
ч3 |
• точка перегиба. |
|
|
|
||
|
27 у |
|
|
|
|
|
5. a) jc = —1; у = х ; |
б) х - 0; у = 0; |
|
|
|
||
в) х =3, х = -3, у |
ТС |
|
|
% |
||
= 1; г) у = 3jc+ — (правая), у = 3 х - — (левая). |
||||||
189