Математика Яцкевич, Раевская 2012

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называетсярасходящейся.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. 1. Всякая монотонная огра­ ниченная последовательность имеет предел. 2. Из всякой ограни­ ченной последовательности можно выделить сходящуюся подпо­ следовательность.

Если lim х„ =0, то последовательность {х„} называется бесконеч­

но малой числовой последовательностью. Последовательность {хп\ называется бесконечно большой, если для любого М > 0 существует число N такое, что jjc„[ > М для всех п> N . Тогда пишут: lim х„ =со.

О п р е д е л е н и е . Пусть даны два непустых множества X и 7. Если каждому элементу х е X ставится в соответствие единственный элемент у е Y , то говорят, что на множестве X задана функцияf Гово­

рят, что функцияf отображает множество X на множество Y. Множество X называется областью определения функции f (обо­

значается D { f) \ а множество Y называется областью значений функции/ (обозначается £ (/)).

Оп р е д е л е н и е . Число А называется пределом функции/(х)

вточке если для любого числа е > 0 существует такое число

5(e) >0, что для всех х ФХд, удовлетворяющих условию jx-jc0j <8, выполняется неравенство |/(.г)- Л \< s.

Обозначение предела функции: lim f(x ) = А. X-+XQ

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при то справедливы следующие теоремы о пределах:

1. lim (/(х)± g(x))= lim f(x)± lim g(x);

2. lim (/(*) •£(*))= lim /(*)■ lim g(x);

110

Теорема (предел сжатой функции). Если м(х),v(x),z(x) опреде­

лены в окрестности точки х =х0 и при х —>х0 выполняются ус­

ловия и(х) < г(х) < v(x) и lim и(х) = lim v(x) = A, то lim z{x) = А . JC~+Xg X—?XQ

При вычислении пределов числовых последовательностей и функ­ ций часто используются известные пределы:

Первый замечательный предел lim sin* = 1.

х-*0 х

Второй замечательный предел

не может быть найден непосредственно с помощью теорем о преде­ лах, называют неопределенностями. Раскрыть неопределенность,

111

женил, либо использования замечательных пределов, либо при­ менения правила Лопиталя. Другие виды неопределенностей

(О-да;оо-со; 1°°;0°;оо°) могут быть преобразованы к неопределен-

П п Р и м е р ы . Найти пределы:

112

. lim (^fx2 - 2x - 1 ->/x2 -7x + 3j = (°o-oo) =

*-*+00\

•jx2 -2x-l-yIx2-7x+3jylx2-2x~l+Jx2-7x+3^

113

5.2.Бесконечно малые н бесконечно большие функции.

Сравнение бесконечно малых

О п р е д е л е н и е . Функция а(х) называется бесконечно Manoi

функцией при х —>х0, если lim a(x) = 0.

X-+XQ

Свойства бесконечно малых функций:

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функ ций есть бесконечно малая функция.

2.Произведение ограниченной функции на бесконечно малуи функцию есть бесконечно малая функция.

3.Частное от деления бесконечно малой функции на функции имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функцих

114

4. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой

функции. Если lim /(х) = b , то f{x)=b + а(х), где a(x) - беско- X->X0

нечно малая функция при х -» х0. Если /(х) = 6 + а(х), где а(х) -

бесконечно малая функция при х -» х0, то lim /(х)= Ъ . Х-*Х0

Пусть а(х) и р(х) - бесконечно малые функции при х -» х0 и

малыми одного порядка малости. Если с = 1, то а(х) и Р(х) на­ зываются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение: а(х)~Р(х) при х —»х0).

2)Если с = 0, то а(х) называется бесконечно малой более высо­

кого порядка малости, чем Р(х) (обозначение а(х) = о(р(х)) при

X-> х0).

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей беско­ нечно малой, т. е. если a(x) ~ otj(х), Р(х) ~ pj(x) при х -> х0, то

*->*о Р(х) X-+XQр](х)

Приведем важнейшие эквивалентные бесконечно малые функции,

которые используются при вычислении пределов. Если ос(х) —» 0, то:

X-+XQ

115

О п р е д е л е н и е .Функция / (х) называется бесконечно боль­ шой при х-> х0, если для любого положительного числа М суще­ ствует такое число 6 > 0, что при всех хфх0, удовлетворяющих ус­ ловию |х -х0|<8 выполняется неравенство j/(x)| > М , и обознача­

ется lim / (jc) = со .

X^XQ

11Теорема. Всякая функция, имеющая предел, ограничена.

Обратное утверждение неверно.

5.3. Непрерывность функции.

Точки разрыва функция и их классификация

Пусть функция f(x) определена в точке jc0 и в некоторой окре­

стности этой точки.

О п р е д е л е н и е . Функция у = f(x) называется непрерывной

в точке д:0, если существует предел функции в этой точке и он ра­

вен значению функции в этой точке, т. е. lim f(x) = /(jc0).

х~*х0

Функция / ( х) называется ограниченной при х —> х0, если, задав любое s > 0, можно указать такое М >0, что для всех х, удовле­ творяющих неравенству |jc-x0)<S(s), выполняется неравенство

Iт \ < м .

п б

Из определения непрерывности функции в точке х0 следует:

1)функция f(x ) определена в точке х0 и ее окрестности;

2)существует конечный предел функции f(x ) в точке х0;

3) этот предел равен значению функции в точке дг0, т. е.

lim Д х) = /(х 0).

X-+XQ

Или другими словами:

1)функция /'(х) определена в точке х0 и ее окрестности;

2)существуют конечные односторонние пределы

3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке JC0.

Часто используется другое определение непрерывности функ­

точке х = х0, если предел приращения функции в этой точке равен

в которой функция не является непрерывной. Другими словами, точка х0, в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкойразрыва функции.

то х0 называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов /(х 0 -0), / (х0 + 0) не существует или равен бесконеч­ ности, то точка х0 называется точкой разрыва второго рода. Если /(х0 - 0) = /(х 0 + 0) , но функция в точке х0 не определена или если f{x) в точке х0 определена, но / (х0) Ф lim f i x ) , то х0 назьшается

точкойустранимого разрыва.

117

Укажем основные свойства непрерывных функций. 1. Простейшие элементарные функции

( С, ха , ах, sin х, cos х, tg х, ctg х, arcsin х , arccos х, arctg х, arcctg х) непрерывны во всех точках, где они определены.

2. Если функции / (х) и g(x) непрерывны в точке х0, то и функ-

f(x )

ции f(x)±g(x), f(x)-g(x), £— (g(x0)*0) непрерывны в точке х0. g(x)

3. Если и =ф(х) непрерывна в точке х0, а у = f ( u ) непрерывна в точке и0 = <р(х0), то сложная функция у =/'(ср(х)) непрерывна в точке х0,

Функция /(х ) называется непрерывной на интервале (a,b), ес­ ли она непрерывна в каждой точке этого интервала.

О п р е д е л е н и е . Функция / (х) называется непрерывной на отрезке \a,b\, если она непрерывна на интервале (a,b), непрерывна

справа в точке а (т. е. lim f(x) = / (а) ) и слева в точке Ъ (т. е.

х—ю+О

lim Д х ) =/(b)).

х->а-О

Укажем основные свойства непрерывных на отрезке функций.

1. Функция /(х ), непрерывная на отрезке \a,b\ достигает на этом

отрезке своего наименьшего и наибольшего значений. (А, следователь­ но, функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.)

2.Если функция f(x ) непрерывна на отрезке [а,б] и на концах его принимает неравные значения f{a) = A, f(b) =В , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А п В.

3.Если функция f{x) непрерывна на отрезке [а,й] и на его кон­

цах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка \a,b\ су­ ществует хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль, т. е. /(с ) = 0, с е (а,Ь).

118

Р е ш е н и е . Так как функции ех -1 и х непрерывны, то непре-

ех -1

рывным будет и их отношение------- во всех точках, кроме точки

х

х= О. При х =0 f(x) не определена, следовательно, разрывна. Так

будет непрерывной при всех х.%

О п р и м е р 5.3. Установить вид точек разрыва функции

Р е ш е н и е . Область определения функции /(х ) - вся число­ вая ось (-со;+оо). Разрывы возможны только в точках х = 0 и х= 3, в которых изменяется аналитическое задание функции. Най­ дем односторонние пределы в точке 1 = 0 и значение функции в

Так как эти пределы конечны, но не равны между собой, то х = 3 - точка разрыва первого рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1. #

119