Математика Яцкевич, Раевская 2012

7.4.Асимптоты графика функции

Оп р е д е л е н и е . Прямая I называется асимптотой графика функции у = f(x), если расстояние от точки М(х,/(х)) графика

функции до прямой / стремится к нулю при неограниченном удале­ нии точки Мот начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и гори­ зонтальными.

Прямая х - а является вертикальной асимптотой графика функции у = /(jc), если хотя бы один из односторонних пределов

lim /(jc) равен бесконечности. В этом случае точка х = а являет-

х-*а±О

ся точкой разрыва 2-го рода функции у - f ( x ) .

Для существования* наклонной асимптоты у = kx + b необхо­

димо и достаточно существование двух пределов

Если в уравнении у = кх + b коэффициент к равен нулю, то име­

ем горизонтальную асимптоту у = Ъ.

Заметим, что не всегда прямая, являющаяся асимптотой графика функции при х —> +00, будет являтся асимптотой того же графика при х -» -оо. Поэтому при отыскании наклонных асимптот нужно отдельно исследовать случаи при х -> +оо и jc -> -оо.

Р е ш е н и е . Прямые JC= 1, JC= -1 являются вертикальными

асимптотами графика функции, так как

150

Следует отметить, что точки х —1, х =- \ являются точками раз­

рыва 2-го рода функции у = 2х3 х2 -1

Наклонную асимптоту ищем в виде: у = кх + Ь ,

Следовательно, прямая у = 2х - наклонная асимптота. *25*

7.5.Общая схема исследования функции

ипостроения графика

Исследование функции и построение ее графика удобно выпол­ нять по следующей схеме.

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодиче­

ской.

3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.

4.Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные).

5.Исследовать функцию с помощью первой призводной: устано­ вить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.

6.Исследовать функцию с помощью второй призводной: опре­ делить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точ­ ки перегиба.

151

7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участ­ ков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнитель­ ных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).

Р е ш е н и е . Областью определения функции является совокуп­ ность интервалов (- oo,l)U(t,+<»).

Функция общего вида, т. к. /( - * ) * /(х) и / ( - х) ф - /(х). Функ­ ция не периодическая. Функция не определена при х = 1. Исследу­ ем поведение функции в окрестности этой точки.

v = x - наклонная асимптота.

152

x2 ~2x =0 при x = 0, x = 2. (л- l) 2

Укажем интервалы монотонности.

у1!

На (-oo,0)U(2,+oo) - функция возрастает, на (0,l)U(l,2) - функ­ ция убывает.

Тогда ;с = О —точка максимума, _у(о) = -1; х = 2 —точка мини­ мума, у(2) = 3.

Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

тя в этой точке функция не определена).

у":

У!

153

Точек перегиба нет. Точки пересечения с осью Ох найдем из урав­

нения f(x)=Oyа точки пересечения с Оу получим при х =0 : 2

- — ~ = 0=>JC2-JC+ 1*0, т.к. D < 0. А /(о )= -1 , значит,

J C - 1

(0,-l) - точка пересечения с осью Оу. Строим график функции (рис. 7.3). -ф

7.6. Векторная функция скалярного аргумента

Эта часть высшей математики - приложения дифференциально­ го исчисления к геометрии в пространстве.

О п р е д е л е н и е . Если каждому значению действительной пе­

ременной t e D a R поставлен в соответствие вектор a(t) е R3, то

говорят, что на множестве D задана вектор-функция а = a(i) дей­ ствительной переменной t.

154

Множество D называют областью определения функции a(t).

Задание вектор-функции а = a(t) равносильно заданию трех чи­ словых функций ax(t), ay(t\ az(t) - координат вектора а :

a(t)=ax( t) i+ a y(t)-] + a.(t)-k

или кратко a{t) = {ах(/),ау(/),az(/)).

Если вектор а является радиусом-вектором точки A(x,y,z), то соответствующую вектор-функцию принято обозначать

г = г(t) =x(t)-i + y(r)- j + z(t)-k .

падает с D.

При различных значениях t положение конца вектора r(t) будет,

вообще говоря, изменяться.

О п р е д е л е н и е . Годографом вектор-функции г = r(t) назы­ вается линия, описываемая в пространстве концом вектора r(t).

Таким образом, всякую линию в пространстве можно рассматри­ вать, как годограф некоторой вектор-функции.

155

Точка О называется полюсом годографа. Выражение

r{t)=x(t)i + y(t)-] + z(t)-k

называют векторно-параметрическим уравнением годографа, а x = x{f\y = y(t\z = z{t)

называют параметрическими уравнениями годографа.

Годографом является парабола (рис. 7.4). >5

Рис. 7.4

156

7.7. Предел, непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента

Предположим, что lim х(/)= х0, lim y(t) = у$, Hm z(t) = z0.

ная функция называется непрерывной в точке t0, Рассмотрим век­ тор-функцию r{t) =x(t)-i +y(t)-j + z{t)-k в точке М (рис, 7.5). Да­ дим t приращение At, тогда получим вектор г (/ + At) = x(t + At)-i +

At

x'(f)- i +у'if)- j + z'(t)-k , т. e. lim — = x'{t)- i +y'{t)-j + z'{t)- k . At—yOAt

157

Итак, — = cosf ■/ - sin 2t • j +cos2J • к . Ф dt

Сгеометрической точки зрения вектор r'(t) - это вектор, на­ правленный по касательной к годографу функции r(t) в сторону возрастания параметра t.

Смеханической точки зрения г'(f) есть вектор мгновенной ско­

рости движения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции r(t) .

7.8.Касательная прямая и нормальная плоскость

кпространственной кривой

есть уравнения касательной к пространственной кривой x - x [ t),

y = y(t),z = z(t).

159