Математика Яцкевич, Раевская 2012

О п р е д е л е н и е . Цилиндрической поверхностью или ци­ линдром называется поверхность, образованная прямой а при ее перемещении параллельно самой себе так, что она все время пере­ секает линию L. Прямые, полученные при перемещении прямой а, называются образующими этого цилиндра, а линия L - его направ­ ляющей. Если цилиндр имеет ось симметрии, а направляющая, ле­ жащая в перпендикулярной этой оси плоскости, является окружно­ стью, то цилиндр называется круговым.

Заметим, что если в уравнении поверхности отсутствует одна из координат, то это уравнение задает цилиндр с образующими, парал­ лельными координатной оси, определяемой отсутствующей коорди­ натой. Уравнение направляющей этого цилиндра, лежащей в перпен­ дикулярной образующим координатной плоскости, совпадает с урав­ нением самого цилиндра.

Так, уравнение F(x, у) = 0 задает цилиндр с образующими, па­

раллельными оси Oz. Если это уравнение рассматривать в системе координат Оху (т. е. в плоскости z = 0), то получим уравнение на­ правляющей этого цилиндра.

Уравнения / ’(x,z) = 0 и f(y,z) = Q задают цилиндры с образую­ щими, параллельными осям Оу и Ох соответственно.

Пусть в пространстве задана некоторая линия L и точка О'.

О п р е д е л е н и е . Конической поверхностью или конусом на-j зывается поверхность, образованная прямыми, проходящими через 0'\ и пересекающими кривую L. Прямые, из которых состоит конус, на­ зываются его образующими, а точка О '- его вершиной. Если конус имеет ось симметрии, а все его образующие наклонены к ней под одним и тем же углом, то конус называется круговым.

4.17.2. Каноническиеуравнения поверхностей второго порядка

О п р е д е л е н и е . Поверхностью второго порядка называет­ ся множество всех точек пространства, удовлетворяющих в некото­ рой системе координат какому-либо уравнению 2-й степени, т. е. уравнению вида

Ах2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Ну + Kz + R = 0 .(4.91) I

100

Уравнение (4.91) называется общин уравнением поверхности вто­ рого порядка (коэффициенты А, В, С, D, Е, F не равны нулю одно­ временно).

Для любой поверхности 2-го порядка в пространстве существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта поверх­ ность задается каноническим уравнением. Перечислим все принци­ пиально возможные типы канонических уравнений 2-й степени с тремя переменньми и таким образом классифицируем поверхности 2-го порядка.

аb

101

Рис. 4.29

102

Рис. 4.32

Рис. 4.33

104

Рис. 4.35

Рис. 4.36

105

Рис. 4.37

Числа а, b и с в уравнениях эллипсоида, двуполостного и одно­ полостного гиперболоидов, конуса 2-го порядка, эллиптического и гиперболического цилиндров называются их полуосями. Все эти по­ верхности симметричны относительно всех координатных плоско­ стей и относительно начала координат. Точки пересечения двуполо­ стного гиперболоида и эллиптического параболоида с осями сим­ метрии называются их вершинами. Вершиной конуса называется его центр симметрии.

Чтобы по каноническому уравнению определить вид поверхно­ сти без формального заучивания уравнений, полезно рассуждать в следующей последовательности.

Если каноническое уравнение не содержит одной из переменных, то это один из цилиндров. При этом его образующие параллельны координатной оси, определяемой отсутствующей переменной, а урав­ нение направляющей, лежащей в координатной плоскости, перпен­ дикулярной этой оси, совпадает с уравнением самой поверхности.

Если каноническое уравнение содержит все переменные, проверим, все ли они в квадратах. Если присутствует слагаемое первой степе­ ни, то это один из параболоидов. Какой из них, легко понять по ле­ вой части уравнения.

Если в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, посмотрим на знаки коэффициентов при квадратах.

106

Вслучае, когда все эти коэффициенты одного знака, мы имеем либо эллипсоид, действительный или мнимый, либо точку. При а = Ь = с из уравнения эллипсоида получаем частный случай - уравнение сферы.

Если в каноническом уравнении присутствуют квадраты всех трех переменных, но они разных знаков, то рассматриваемая по­ верхность либо один из гиперболоидов, либо конус второго поряд­ ка. Конус выделяется тем, что он проходит через начало координат, что легко проверяется подстановкой. Так как переменных всего три, то два коэффициента при квадратах будут иметь одинаковый знак, а третий - противоположный. Таким образом, две переменные будут равноправными, а третья - особенной. Конус или гиперболоид всегда «вытянуты» вдоль оси, определяемой особенной переменной. Чтобы отличить однополостный гиперболоид от двуполостного, следует положить равной нулю эту особенную переменную. Если в сечении получился эллипс, то гиперболоид однополостный, если пустое множество - двуполостный.

0 п Ример 4.61. Построить тело, ограниченное поверхностями

x2 + y2 + z2 = 4, x2+y2 =3z.

Решение . Тело ограничено снизу поверхностью параболоида:

х1 +у л - Зг, а сверху - поверхностью сферы х"У+у "У+ z'У= 4. Тело изображено на рис. 4.38. 0

Рис. 4.38

107

Ппр име р 4.62. Построить тело, ограниченное поверхностями

Он пересечен плоскостями х = 0, z = 0 (координатные плоскости Ozy и Оху). По оси Оу тело ограничено плоскостями у = 3, у = -3 (рис. 4.39). Ф

Рис. 4.39

108

5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ

5.1. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Функция и предел функции

О п р е д е л е н и е . Под числовой последовательностью (или просто последовательностью) х],х2,хз,.. .. понимается функция , заданная на множестве N натуральных чисел. Отдельные числа х„ называются членами (или элементами) числовой последо­

вательности: X] - первый член числовой последовательности, х2 - вто­ рой и т. д. Кратко последовательность обозначается {хл}, п е N ; а сим­ воломх„обозначается общий член числовой последовательности,

О Примеры:

1 Н 1 - Н ! ? Ь - г г -

3. { -1,2-3,4,...} = 1)"• п)- хп = ( - i f • /1. *

Последовательность {х„} называется ограниченной, если суще­ ствует такое число М > 0, что для любого n&N выполняется нера­ венство . В противном случае последовательность называ­ ется неограниченной. Очевидно, что последовательности в приме­ рах 1 и 2 ограничены; в примере 3 —неограничена.

Если все элементы последовательности {*„} равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.

Последовательность {*„} назывется возрастающей (убывающей), еслидля любого п е N выполняется неравенство хп+х > хп (дг„+1 <х„).

Возрастающие и убывающие последовательности называются моно­ тонными.

Определение. Число а называется пределом числовой последова­ тельности {*„}, если для любого числа 8 > 0 существует такой номер N(e), что для всех п >N(s) выполняется неравенство \хп - а\ < г.

Обозначение предела последовательности: Нш х„=а; х„-*а

л -ю о

при п —> СО,

109