Математика Яцкевич, Раевская 2012

т. е. число, равное произведению длин этих векторов на косинус

/ - А - Л

угла ср = а , Ь между ними. По определению (д,б)= (б,а)= О

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)\a,b)~ (В,а) (коммутативность);

2)[а,В + с)= (а,б)+ (а,с) (дистрибутивность);

3)(аа,ь)=(а,аб)=а(а,£>) (ассоциативность относительно ска­ лярного множителя);

4) (а,В)= О о a Lb (или а = б или В = б) (критерий ортого­ нальности);

5)(а ,а )-а 2 =\af >0 (скалярный квадрат вектора);

6)(a,b ) = |а| • прSB = |б| - пр6-3 .

Если векторы а и b заданы координатами в ортонормирован-

ном базисе i ,] ,к :а(дг,,ух,z,), b(х2,у2,z2) >то

1)( a ,b )= jc 1x2 + y 1y 2 + z )z 2 ;

2)|а| = V i2" = 7(5,а) = -Jx2 +у 2 + z2 (следует из свойства 5);

52

Механический смысл скалярного произведения - это работа А,

производимая силой F , точка приложения которой перемещается по отрезку М\Мг из точки М\ в точку Мъ

A =-{F ,M XM '2).

О Пр и м е р 4.23. Даны векторы а = 3/ —3 / + к, b = —j +1к.

Найти пр^а.

Р е ш е н и е . Так как векторы а, b заданы координатами в ор­

тонормированием базисе а = (3;-3;l), Ь =(0;-1;7), а пр^а = — ^ — то

(5,£) = 3-0 + (-3)(-1) + 1-7 = 10; lbj = д/О2 + ( - l ) 2 + 7 2 = л/50 -

Р е ш е н и е . Используя свойства 1, 2, 3, 5 скалярного произ­ ведения, имеем:

(а-3Ь, 2а + б)=2(а,а)-5(а,б)-з(б,б)=

=2-|5|2 -5 - |a |-|* |-c o s^ « ? * j- 3 |6 j2 = 2 - 2 2 - 5 - 2 - 3 • c o s ^ - 3 - З2 =

=8-15-27 = -34.

Ответ: - 34. 0

О п р и м е р 4.25. Какую работу производит сила F = (2;-1;-4), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается източки А = (l;~2;3) в точку В = (5;-6;l) ?

53

Р е ш е н и е . Используя механический смысл скалярного про­ изведения, имеем А ~ (F,AB).

Найдем координаты вектора АВ: АВ=(5~1;~ 6 -(-2); 1 - 3)=(4;-4;-2).

Тогда А = (F ,AB )= 2- 4+ (-1)-(-4)+(-4)-( - 2)= 20.

Ответ: 20.

4.9.Векторное произведение векторов

Оп р е д е л е н и е . Векторным произведением вектора а и

вектора b называется вектор с , удовлетворяющий трем условиям:

1)jcj = |5|-|6|-sin а,Ь

2)с 1а; с l b ;

3)упорядоченная тройка векторов а,Ь,с - правая (рис. 4.12). Обозначение: с = [a, b\ или с = ахЬ .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1)р>,й]=-[а, б] (антикоммутативность);

2)[а, Ь +с]=[а, б]+[а, с] (дистрибутивность);

54

3)[а«, б]= [а, а b\= а [а, b\ (ассоциативность относительно скаляр­ ного множителя);

4)[й, fc]=б о а (| b (критерий коллинеарности);

5)геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения [а, б] равен площади параллелограмма,

построенного на векторах а и А, отложенных от одной точки:

6) механический смысл векторного произведения: момент си­ лы F , приложенной в точке В, относительно точки А определяется равенством: MA{F )=\AB ,F \.

Если векторы а и Ъ заданы в ортонормированном базисе

i,],k координатами а(хх^ z , ) ; b(x1,y 1,z2) ^ o

= Г (и *2 - z l y2) ~ j ( x ]z 2 - x 2z l ) + k ( x iy 2 - х 2У1).

Ппр и м е р 4.26. Найти площадь и длину высоты BD треуголь­ никас вершинами в точках А(1, -2, 8), 5(0,0,4), С(6, 2, 0).

55

1. Находим координаты векторов АВ, АС и длину |ЛС| вектора

П п р и м е р 4.27. Сила F - l - j +к приложена в точке 5(0; 1; -2).

Найти M A{F ), если,4(1; -1; 2).

Р е ш е н и е . Согласно определению момента силы

находим координаты вектора АВ —(—1;2; -4), тогда

56

О п р и м е р 4.29. Вычислить объем треугольной пирамиды с вер­

Можно показать, что объем пирамиды A B C D равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, A C , A D .

D

С

Рис, 4.14

58

Тогда V = 1 (AB,AC,AD) , а т. к.

2 3 4

□ П р и м е р 4.30. Доказать, что четыре точки Ах(3, 5,1), Лг(2, 4, 7), Лз(1, 5, 3), А4(4, 4, 5) лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е . Достаточно показать, что три вектора

А1Аг,А1Аг, Л{Л4 , имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т, е. компланарны). Находим координаты векто­ ров АХА2, АХАЪ, АХА4 :

А^А2 = (2- 3;4- 5;7 - 1)= ( - 1;-1;6>, ^з=(1-3;5-5;3-1)=(-2;0;2> 4 ^ =(4-3;4-5;5-1) = (1;-1;4)

Проверяем условие компланарности векторов (свойство 6 сме­ шанного произведения):

чит, точкиA\, А2, А3, А\ лежат в одной плоскости.

П п р и м е р 4.31. Образуют ли векторы а = (2;3;-l), Ъ= (5;7;4), с(2;7;-4) базис в трехмерном пространстве? Если да, то опреде­

лите, какой тройкой является тройка векторов а ,Ь ,с - правой или левой.

59