Математика Яцкевич, Раевская 2012

П п р и м е р 5.4. Установить вид точек разрыва функции f(x)=ex+l. Р е ш е н и е . Данная функция непрерывна всюду, кроме точки

х = -1, в которойДх) не определена.

х -» -1 + 0), т.е. правосторонний предел бесконечен, то х = —1 - точка разрыва второго рода.#

120

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6.1. Производная. Касательная и нормаль к графику функцин. Геометрический и физический смысл производной

Рассмотрим функцию у = fix ), определенную и непрерывную в интервале (a;b). Зафиксируем точку x0 e(a\b). Пусть х0 е (a;b),

тогда Ах = х - х0 - приращение аргумента в точке х0, которому со­ ответствует приращение функции Ау = /( х - х 0) - /( х 0) в той же точке. Иногда удобнее Ау обозначать через А/(х0).

О п р е д е л е н и е . Производной функции в данной точке на­ зывают предел, если он существует, отношения приращения функ­ ции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, ко­ гда последнее произвольным образом стремится к нулю. Производ­ ную функции у =/(х ) в точке х0 обозначим /'(х 0), тогда по определению

Если х - произвольная точка, то производная функции /(х ) яв­ ляется также функцией аргумента х, т.е.

Таким образом, производная функции /(х) в точке х0 является значением функции /'(х) в точке х0.

О п р е д е л е н и е . Если f i x ) существует, то функция называ­ ется дифференцируемой в точке х.

Пусть дана кривая у - fix) (рис. 6.1), проведем через точки м(х0,/(х 0)) и М,(х0 + Дх,/(х0 +Ах)) прямую ММХ, Прямую, про­ веденную через любые две точки графика функции у = f i x ) , назы­

121

вают секущей графика функции f{x). Предельное положение МТ

секущей ММХ, когда М{, передвигаясь по кривой, стремится к точ­ ке М, называется касательной к кривой в точке М (рис. 6.1).

Пусть k\ - угловой коффициент секущей ММХ, т. е. тангенс угла, который образует прямая ММХс осью абсцисс, к - угловой коффици­ ент касательной МТ, тогда из определения касательной к = lim к..

фику функции в точке с абсциссой х0, а именно к = f'(x0). Уравнение касательной запишем, используя уравнение прямой

у = ах + Ь. Так как а =к = f'(x0), тогда у = /'(х 0 )х + Ь , Так как

122

Прямая, проходящая через точку касания М{х0,/(х0)) перпен­ дикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции у =/(*) в этой точке. Уравнение нормали запишем в виде

J

Выясним геометрический и физический смысл производной. Величина угла прямой (секущей) МХМ к оси Ох обозначена че­

рез ф (см. рис. 6.1), q>= ZMxM N . Из прямоугольного треугольника

Получаем равенство tga = f'{x0). 'Это равенство выражает геомет­ рический смысл производной:

производная функции у = f{x) при х - х 0 равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке M(xQ, у0) и по­

ложительным направлением оси Ох.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она не­ прерывна в ней. Обратное утверждение неверно: непрерывная функ­ ция может не иметь производной.

Рассмотрим задачу о скорости неравномерного прямолинейного движения. Неравномерное прямолинейное движение точки М осу­ ществляется по закону х =/(f), где х = ОМ - длина пути, f(t) -

123

заданная функция времени г. Пусть в момент времени /0 точка М занимала положение М<>. За промежуток времени At = t - t 0 пройден путь М0М = А х - f(t0 + At)- f(t0)=Af(t0). Средней скоростью vcp за промежуток времени At называют отношение приращения пути

стью точки М в данный момент времени t0 (мгновенной скоро­ стью) называют предел средней скорости при Ах —>0:

Таким образом, мгновенная скорость определена как предел от­ ношения приращения пути к приращению времени при Af -» 0 .

Из определения производной и последней формулы следует, что эта формула выражает физический смысл производной:

скорость движения точки в момент времени t0 равна прошен­ ной от пути по времени при t - t^ .

6.2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Таблица производных

О п р е д е л е н и е . Дифференцированием функции называют операцию нахождения производной функции.

Основные правила дифференцирования указывают, как найти производную суммы, произведения и частного двух дифференци­ руемых функций.

Пусть С - постоянная, а и(х) и v(jc) - дифференцируемые функ­ ции. Тогда

1)С' = 0;

2)(Си)'- Си’:

3 ) ( M ± V ) ' = M '± V ' ;

4) ( M - V ) ' = W ' V + V ' M ;

124

Теорема (производная сложной функции). Если функция и = и(х) дифференцируема в точке х, а функция у =f(u) дифференцируема в соответствующей точке и = и(х), то сложная функция у - f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна

/ ( * ) = Г и 0 0 • “'(*) и™ Ух = Ги ' К ■

Приведем таблицу производных основных элементарных функций.

125

Пп р и м е р 6.1. Найти производные функций:

I------------------ г tg

а) у = s x 2 - Зх + 4 ; б) у = V х -cos2 5х; в) у =------ _

log8 е*

Р е ш е н и е . Используя правила дифференцирования, терему о производной сложной функции и таблицу производных, получим:

(k>g8e*4 j

Результат оставим без упрощения. #

126

6.3. Производная показательно-степенной функции.

Логарифмическое дифференцирование

Показательно-степенной функцией или сложно-показательной функцией называется функция вида jy(x)= u(x)v^ . Логарифмиче­

ское дифференцирование состоит в нахождении производной от ло­ гарифма некоторой функции, что упрощает вычисление производ­

ной. Если у - /(х ), то (injy) =--

У

П П р и м е р 6,2. Найти производную показательно-степенной функции

Р е ш е н и е . Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части равенства, получим

(

Inу - 2х In 1 +4-1; (in v) == 2хInН )

Ч 1 х ))

У(4х - 21)5

пользуя свойства логарифмов, имеем: 1п у = ~(lnx + ln(l - Зх)- 5 ln(4x - 2 l)l).

127

если для всех х е (а; Ь) выполняется равенство F(x,/(x)) = 0.

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следу­ ет тождество F(x,/(x)) = 0 продифференцировать по х (рассматри­ вая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно fix ) .

Ппр и м е р 6.4. Уравнение х3 +ys =ех +у неявно определяет функцию у =,у(х). Требуется найти производную у '.

Р е ш е н и е . Дифференцируя по х тождество о?+ 2

получим Зх2+ 5у4(х)• у'(х) = ех ■2х +j/(x).

Отсюда 5у4 -у' - у ' - 2хех2 - Зх2 . Из этого равенства находим у':

,2хех - З х 2

Оп р и м е р 6.5. Найти производную функции у =/ (х), задан-

+ у(х) -5 = 0, получим 2х - 4хуг - 4х2уу'' +5+у ’= 0. Выражая у' из этого равенства, находим:

\ - 4 х у

128

этом для всех у е Е выполняется равенство / ( г 'М ) - у = 0. Значит

функция х - f l(y) есть функция, заданная неявно уравнением

f(x)-y =0. Для нахождения производной х'у дифференцируем ра­

венство f ( x ) - y =0 по у: f'y(х(у))• ху(у) -1 = 0, откуда получаем формулудля производной обратной функции:

или ху = -

) = Г .Ш )

^ П р и м е р 6.7. Найти производную функции arcsh х .

Р е ш е н и е . Функция arcshх является обратной по отношению

f a /