Математика Яцкевич, Раевская 2012

А Заметим, что при нахождении ранга матрицы таким cm собом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевое окаймляющий минор k-го порядка для Мк_1*0.

Р е ш е н и е . Приведем матрицу к трапециевидной форме:

(это число ненулевых строк).

Здесь цифрами [1], [2] обозначены следующие операции: [1] - ко 2-й строке прибавим 1 -ю, умноженную на (-2);

к4-й строке прибавим 1-ю, умноженную на (-7);

к5-й строке прибавим 1-ю.

[2]- из 3-й и 5-й строки вычли 2-ю строку;

к4-й строке прибавили 2-ю, умноженную на 3.

Ответ: гА =2. ф

Опр и м е р 4.9. Методом окаймляющих миноров найти ранг мат

Р е ш е н и е . Т а к как у матрицы А есть ненулевые элементы, то rA >1. За основу выберем Мх= |l| = 1, стоящий в левом верхнем уг­ лу. Перейдем к вычислению миноров 2-го порядка, окаймляющш

30

верхнемуглу.

Так как М2 * 0, то переходим к вычислению миноров 3-го по­

т.к. третья строка у всех этих миноров равна сумме первых двух. Аналогично,

т. к. 3-я строка равна сумме 2-й и 1-й, умноженной на 2.

Так как все миноры 3-го порядка, окаймляющие М 2 * 0, равны ну-

4.5. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Решение невырожденных линейных систем.

Матричный метод. Формулы Крамера

О п р е д е л е н и е . Система т уравнений с п неизвестными хьхг,...,хп называется линейной, если она имеет вид

где числа ау (г = \,т; j = \,п j называются коэффициентами систе­

мы, а числа 6, (i = 1,т) - свободными членами.

О п р е д е л е н и е . Решением системы (4.15) называется упо­ рядоченное множество чисел (q,с2,..., с„), если каждое из уравне­ ний системы обращается в верное равенство после подстановки вместо х1,х2,...,х„ соответственно чисел сь с2,...,сп.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения, назы­ вается несовместной.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она име­ ет более одного решения.

Решить систему уравнений означает выяснить, совместна она или нет, и если совместна, то найти все ее решения.

Две системы уравнений называются эквивалентными или рав­ носильными, если любое решение одной из них является также ре­ шением другой и наоборот.

Эквивалентные системы уравнений получаются в результа­ те следующих преобразований:

1)умноженияуравнения системы на число, отличное от нуля;

2)прибавления к одному уравнению другого, умноженного на любое число;

3)перестановки местами двухуравнений системы.

Система уравнений, у которой все свободные члены равны нулю ( = Ъ2 =... = Ът= 0), называется однородной.

А Однородная система всегда совместна, т. к. она имеет нуле­ вое решение х1=х2 =... = хп=0, хотя оно не обязательно един­ ственно.

Систему (4.15) можно записать в матричной форме АХ = В,

32

х = х 2 - столбец (или вектор-столбец) неизвестных,

\XnJ

ь\

В= - столбец свободных членов.

нойматрицей системы.

Рассмотрим случай системы п уравнений с п неизвестными:

allxl +an x2 +... + a lnxn =bl',

а2Хх{+аг1х2 +... + а2пхп = Ь2,

(4.16)

an\Xi+an2x2 +... + amxn =bn,

или в матричной форме: АХ = В .

Система (4.16) называется невырожденной, если det А =АФ0. Невырожденная система совместна и имеет единственное реше­

ние, которое может быть найдено

1) матричным методом по формуле X = А 1В ,

1,п

где Д, - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой /'-го столбца столбцом свободных членов В.

33

2*1 - х2 + *3 = О, О п р и м е р 4.10. Решить систему уравнений • 3jcj - 2*2 -*з=5,

JCj + х2 + *з = 6

по формулам Крамера и матричным способом.

является невырожденной и имеет единственное решение.

1) Используем формулы Крамера (4.18), найдя предварительш

Ответ: (4; 5; -3). ф

34

4.6. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса

Рассмотрим систему (4.15).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений

(4.15) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы сис­ темы равен рангурасширенной матрицы системы: гА =г^.

Исследовать систему линейных уравнений означает выяснить, со­ вместна она или нет, а для совместной системы определить, имеет ли она единственное решение или бесконечное множество решений.

Приэтом возможны три случая:

1) гА < г2 - система несовместна (т. е. решений нет).

2) гА= Г2 = п (п - число неизвестных) - система совместна

иимеет единственное решение.

3)гЛ=г~4 <п - система совместна и имеет бесконечное множе­

ство решений.

Для исследования систем линейных уравнений можно использо­ вать, например, метод Гаусса {метод последовательного исклю­ чит неизвестных). С помощью элементарных преобразований над строками система т линейных уравнений с и неизвестными может бьпъ приведенак виду

где си Ф0 (i = 1,2, . . г), г< п.

Система (4.19) эквивалентна исходной системе (4.15). Если хотя быодно изчисел dr+l,dr+2,...,dm отлично от нуля, то система (4.19),

35

а следовательно, и исходная система (4.15) несовместны (случа!

базисными, &xr+i,xr+2,---,xn - свободными.

Базисные неизвестные оставляют в левой части уравнений, а сво­ бодные переносят в правую. Из уравнений (4.19) выражают после довательно базисные неизвестные хг,хг_ь ...,хг,х1 через свободные

*г+1>*г+2>- ">хп’ которым придают произвольные значения, полу­ чая общее решение системы (4.19), а значит (4.15) (решений у сис­ темы будет бесконечное множество).

Если rA = г = rj = п, то система (4.19) будет иметь единственное

решение, которое находят, выражая хп,хп_х,...,х2,хх последователь­

Производя элементарные преобразования над строками расши­

36

где цифрами [l], [2],[з] обозначены следующие операции:

[l] - 1-ю и 2-ю строки поменяли местами; [2] - ко 2-й строке при­ бавили 1-ю, умноженную на (-2); к 3-й прибавили 1-ю, умноженную на (-3); [З] - к 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на (-1).

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу А

37

где цифрами [l], [2] обозначены следующие операции:

[1] - из 2-й строки вычитаем 1-ю строку, к 3-й строке прибавля­ ем 1-ю, умноженную на 2;

[2] - к 3-й строке добавляем 2-ю, умноженную на (-2). Получим, что гА =г^=2<п =Ъ. Следовательно, система совме­

стна и имеет бесконечное множество решений. х1,х2 - базисные неизвестные, х3 - свободная переменная. Количество базисных не­

\х1+х1 - х ъ=-4;

}х2 - 2дс3 = 4.

Влевой части уравнений оставим только базисные неизвестные:

1*1 +х2 = -4 + х3;

\х2 = 4 + 2дс3.

Подставляя выражение для х2 в 1-е уравнение, получим

jcj = -х 3 - 8.

Полагая X3=C,C G R, решение системы будет иметь следую­

П п Р и м е р 4.13. Решить систему методом Гаусса. +*2 -*з =-4;

-х{+ 2 х 2 -Зх3 = 0;

-2jcj - 2л:3 = 3.

Ре ш е н и е . Приведем к трапециевидной форме расширенную матрицу системы:

38

где [1] - из 2-й строки вычитаем 1-ю;

к3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на 2;

[2]- к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на (-2).

Так как гА = 2 * = 3, то система несовместна.

Ответ: система несовместна.

4.7. Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение векторов. Координаты вектора

О п р е д е л е н и е . Направленным отрезком (или связанным вектором) называется отрезок, на котором задано направление (т. е. для которого известно, какая из двух ограничивающих его точек явля­ ется началом и какая концом). Направленный отрезок с началом в точ­

кеЛ иконцом в точке В обозначается АВ (рис. 4.2):

В

Нулевым направленным отрезком называется пара совпадающих

точек (обозначение О ) (т. е. направление его не определено).

Длиной направленного отрезка АВ называется длина отрезка45.

Два направленных отрезка АВ и CD называются одинаково направмтыми (или сонаправленными), если лучи АВ и CD одинаково на­ правлены, и противоположно направленными, если лучи АВ и CD

противоположнонаправлены (рис. 4.3).

39