Математика Яцкевич, Раевская 2012

Если рассматривать значения г в промежутке [0; +оо), а значение <р в (-л; тс] (или в [0; 2п)), то каждой точке плоскости (кроме О) соот­ ветствует единственная пара чисел г и ф, и наоборот.

Если совместить полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Оху (рис. 4.16), то связь между полярными и прямоугольными координатами точки (кроме точки О) устанавливается формулами:

fx = rcos9,

(4.31) I

\у = гвшф

1

у

Откуда, в частности, tgф = —, где х^О.

х

61

4.11.2.Уравнение линии на плоскости

Оп р е д е л е н и е . Уравнением линии на плоскости Оху на­ зывается уравнение F(x,_y)= 0, которому удовлетворяют координа­

ты х и у каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Переменные х и у в уравнении линии на­ зываются текущими координатами точек линии.

Задача нахождения точек пересечения двух линий, заданных уравнениями -^(*,>’)= 0 и F2 (х,у) =0 , сводится к решению систе­ мы двух уравнений с двумя неизвестными:

!/2(*>.у) = 0.

Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной сис­ теме координат: F (r,y)= 0,

62

Линию на плоскости можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(х;у) изменяется по закону х = x(f), а ордината -

по закону y = y(t), где t - переменная, называемая параметром, то уравнение линии записывается в виде

\x = x(t\

te

[У = Ж \ Эти уравнения называются параметрическими уравнениями

линии.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением г = r(t), где t - скалярный параметр; при изменении t конец вектора r-r{t) описывает некоторую линию, называемую годографом

\x = x(t\

(рис. 4.17). Параметрические уравнения годографа:

Iy = /?sin4

x = acost,

сполуосями аиЬ

[у = bsin/.

63

Здесь в качестве параметра t использован угол между осью Oi

и вектором ОМ , где М - текущая точка кривой.

Примером векторного уравнения кривой является уравнение ок­ ружности диаметра 2R, центр которой лежит на полярной оси, а по­ люс системы координат лежит на окружности: г = 2i?coscp.

4.12. Прямая на плоскости

Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декар­ това система координат Оху.

4.12.1. Различные виды уравнений прямой

Положение прямой на плоскости однозначно определяется какойлибо фиксированной точкой М0(x0,,v0) , лежащей на ней, и либо:

1) ненулевым вектором п(А,В)ф 0, перпендикулярным к пря­ мой, который называется нормальным вектором прямой;

2) ненулевым вектором s(m,n)±Q, параллельным прямой, кото­ рый называется направляющим вектором прямой;

3)угловым коэффициентом прямой к, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох;

4)еще одной точкой А/’1(jcj,jhi), не совпадающей с точкой

Щ{хо>Уо)-

Вкаждом из перечисленных случаев получаются свои уравнения прямой.

1)Заданы точка Л/0(дс0,у0), лежащая на прямой, и нормальный

вектор п{А,В), т.е. п(а ,В)ф О и перпендикулярен прямой. Имеем следующие уравнения:

где С = -(Ах0 + Ву0), причем А2 + В2 Ф0 (т. к. п Фб).

64

О п р е д е л е н и е . Уравнение (4.34) называется общим урав­ нением прямой на плоскости.

Уравнение Ах + By + С =О с условием А2 + В2 Ф 0 называется

уравнением первой степени с двумя переменными.

Если в уравнении (4.34) А Ф 0; В Ф 0; С ф 0, то его можно привес-

X V v.

ти к виду —+ — = 1. Это уравнение называется уравнением прямой

аb

вотрезках, где а иЬ - длины отрезков с учетом знака, отсекаемых

прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно.

2)Даны точка М0(х0,у0) прямой и направляющий вектор s(m,n),

т.е. s Ф 0 и J параллелен прямой.

О п р е д е л е н и е . Уравнения (4.35) называются параметри­ ческими уравнениями, а (4.36) - каноническим уравнением пря­ мой на плоскости.

Несложными алгебраическими преобразованиями уравнения (4.35) и (4.36) могут быть сведены к общему уравнению (4.34), т. е. куравнению первой степени относительно хиу.

Замечание. В случае, когда одна из координат направляющего вектора s(m,n) равна нулю, запись уравнения прямой в канониче­ ской форме сохраняется в виде (4.36). При этом если в знаменателе стоит нуль, то к нулю нужно приравнять и числитель. Полученное равенство (или у = const, или х =const) и будет уравнением пря­ мойна плоскости.

65

3) Если заданы точка М0(х0,у0) прямой и ее угловой коэффици­ ент к, тоуравнение сугловым коэффициентом имеет вид

После приведения подобных членов (4.37) можно записать и так: у = foc + b .

4)На прямой заданы две точки М0(х0,у0) и Mi(x1>yl). Тогда

каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки,

имеет следующий вид:

Все уравнения (4.35-4.38) можно записать в виде уравнения пер­ вой степени относительно хиу.

/ \ Вывод. Каждая прямая на плоскости Оху определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у:

Ах + Ву + С = 0;А2 + В2 *0.

Верно и обратное: каждое такое уравнение первой степени относительно х и у задает на плоскости прямую.

Заметим, что нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости связаны следующим образом: если п(А,В), то s{B,~A)

(т. к. (n,s)= А В -А В =0 , то s _LЯ).

Расстояние р(М0,/) отточки М0(х0,у0) до прямой /, заданной уравнением (4.34), вычисляется по формуле

(4.39)

J A 2+B 2

О п р и м е р 4.34. Составить каноническое и общее уравнении прямой, проходящей через точки Mj(2;l) и М2( - 1;2). Найти угло­ вой коэффициент этой прямой.

66

Р е ш е н и е . Для составления канонического уравнения вос­ пользуемся формулой (4.38):

- каноническое уравнение.

Общее уравнение получим из данного канонического, умножая обе части равенства на - 3, перенося все слагаемые в левую часть

нприводя подобные члены:

х- 2+3(у - 1)= 0 о х + Зу - 5 = 0 - общее уравнение.

Чтобы получить угловой коэффициент прямой, выразим из об­ щего уравнения у:

Опример 4.35. Составить уравнение прямой на плоскости, про­ ходящей через точку М (-1, 2) перпендикулярно вектору, проходя­ щему через точки М\(3, 1) и M2(4, -2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М\ и М2.

Решение. Уравнение прямой запишем в виде (4.33):

А(х-хц) + В (у-уй) = 0,

где хо,уо- координаты точки М, а А и В - координаты нормального вектора.

Так как Я = AfjM2 = (1,-3), то уравнение имеет вид 1(х + 1) - 3(у-2) = 0 или х - Зу + 7 = 0.

Для нахождения расстояния от точки М до прямой М\М2 запи­ шем уравнение этой прямой в виде (4.38):

илиЗх +у - 10 = 0.

Подставляя в формулу (4.39) координаты х0 = -1, уо = 2 точки М, получаем

67

Ппр име р 4.36. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1; -2) и образующей с осью Ох угол а = 60°.

Реше ние . Найдем угловой коэффициент к - tga = tg60° = Уз, Подставляя координаты данной точки Мо и значение углового коэффициента в уравнение (4.37) получим искомое уравнение пря­ мой: у +2 = Уз(л;-1) или у - л/зх + 2 + Уз = 0 - общее уравнение прямой. О

4.12.2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

О п р е д е л е н и е . Под углом между прямыми в плоскости

понимают наименьший (острый) из углов, образованных этими прямыми. Один из углов, образованных пересечением прямых, сов­ падает с углом между векторами нормали или направляющими век­ торами прямых.

1. Если две прямые 1\ и /2 заданы общими уравнениями Ахх + Вху +СХ=0 и А2х + В2у +С2 = 0, то величина ф угла между ними вычисляется по формуле

68

Условие параллельности прямых:

69