Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика№3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.81 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет

Кафедра высшей математики № 1

		ɍ
		Ɍ
		ɇ
	Ȼ
	МАТЕМАТИКА
	Контрольная работа № 3 для студентов инженерно-технических
	специальностей заочной формы обучения.
	ɢ
	Методические указания и индивидуальныеɣ	задания
	ɪ
	Учебное электронное издание
	ɨ
	ɬ
	ɢ
	ɡ
	ɨ
	ɩ
ɟ
Ɋ	Минск БНТУ
Ɋ	2 0 1 1

УДК 512.64 (075.8) ББК 22.1я7

М 93

С о с т а в и т е л и :
А.Н. Андриянчик, В.А. Казакевич, Н.А. Микулик,		ɍ
Л.А. Раевская, В.И. Юринок, Т.С. Яцкевич		ɍ
Л.А. Раевская, В.И. Юринок, Т.С. Яцкевич
Р е ц е н з е н т ы :	Ɍ
Р е ц е н з е н т ы :
А.Н. Исаченко, М.Н. Покатилова	ɇ
	ɇ
Настоящие методические указания и контрольные задания

предназначены для студентов-заочников второго курса инженернотехническихспециальностей БНТУ.

Издание содержит программу по высшей математике, пере-
	ɣ
чень рекомендуемой литературы, основныеȻпонятия по теории
курса высшей математики, типовые примеры и контрольные за-
дания.	ɢ

Студент должен изучить теоретический материал по учебни-
	ɪ
ку, разобрать приведенные образцы решения типовых примеров и
задач, а затем выполнить контрольные задания, соответствующие
номеру его варианта. Номер варианта определяется двумя по-
следними цифрами шифра зачетной книжки, если это число не
ɬ
больше 30. Если номерɨшифра больше 30, следует от него отнять
число, кратное 30. В каждом из семи заданий нужно выполнить
ɢ
номер, соответствующий номеру варианта.
ɡ
Например, если шифр содержит две последние цифры 62,
номерами этого варианта будут 1.2; 2.2; 3.2; 4.2; 5.2; 6.2; 7.2.
ɨ
Белорусский национальный технический университет
ɩ
пр.Независимости, 65, г. Минск, Беларусь
тел. (017) 292-77-52 факс (017) 292-91-37
Ɋ
ɟРегистрационный № БНТУ/ФИТР48-4.2011

Балашова Е.Б. – компьютерный набор, графика, верстка

	ОГЛАВЛЕНИЕ
	ПРОГРАММА.................................................................................			4
1. РЯДЫ...............................................................................................				5
	1.1. Числовые ряды. Основные определения.
	Признаки сравнения................................................................			5
	1.2. Достаточные признаки сходимости рядов
	с положительными членами...................................................			8
	1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
	сходимость. Знакочередующиеся ряды.			ɍ
			Ɍ
	Признак Лейбница.................................................................			10
	1.4. Функциональные ряды. Область сходимости
	функционального ряда. Степенные ряды............................			12
	1.5. Разложение функции в ряд Тейлора ....................................			16
	1.6. Применение степенных рядов	ɇ
	в приближенных вычислениях.............................................			18
	ɣ
	1.7. Ряд Фурье функции, заданной на отрезкеȻдлиной 2 ...........			22
	1.8. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2l		..........	27
2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
	ɢ
	ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕНЫХ..............................			28
	ɪ
	2.1. Определенный интеграл по фигуре.
	Основные понятия и свойства..............................................			28
	ɨ
	2.2. Вычисление двойных и тройных интегралов
	в декартовых координатах....................................................			30
	ɬ
	2.3. Замена переменных в кратном интеграле............................			36
	2.4. Криволинейные интегралы I и II рода.................................			42
	ɢ
	2.5. Поверхностные интегралы I и II рода..................................			43
	2.6. Вычисление криволинейных интегралов I и II рода...........			45
	2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода.
	ɨ
	Связьɡмежду ними.................................................................			47
	2.8. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса..............			49
ɩ
3. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.................				53
	3.1. Оригинал и его изображения................................................			53
	3.2. Основные теоремы операционного исчисления.................			55
	3.3. Отыскание оригинала по изображению...............................			56
Ɋ
ɟ	3.4. Решение дифференциальных уравнений
	и систем дифференциальных уравнений
	операционным методом........................................................			59
	КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 ...................................................			61
	РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.........................................			72

			ПРОГРАММА
			Ряды
	Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над ря-
	дами. Необходимое условие сходимости.
	Достаточные признаки сходимости рядов с положительными
	членами.				ɍ
	членами.
	Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
	Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.				Ɍ
	Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
	Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная
	сходимость. Признак Вейерштрасса.			ɇ
	Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходи-
	мости степенного ряда.
	Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степен-
	ные ряды.
	Применение рядов к приближенным вычислениям.
			ɣ
	Ряды Фурье по тригонометрическим системамȻ. Разложение
	функций в ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и схо-
			ɢ
	димости в среднем. Применение рядов Фурье.
		Интегральное исчисление функций
		нескольких переменных
	Определенный интегралɪпо фигуре, его механический смысл.
	Свойства интегралов по фигуре.
		ɬ
	Вычислениекратныхɨинтеграловповторныминтегрированием.
	Замена переменных в кратных интегралах.
	Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов I и
	ɡ
	II рода, их приложенияɢ		. Формулы Грина, Стокса, Остроградско-
	го-Гаусса.
	ɨ	Элементы операционного исчисления
	ɩ
	Преобразование Лапласа. Теорема существования и единст-
ɟ
	венности. Класс оригиналов и класс изображений.
Ɋ	Основные теоремы операционного исчисления.
	Определение оригинала по изображению с помощью таблиц
	и второй теоремы разложения.
	Решение линейных дифференциальных уравнений и систем
	операционным методом.

1. РЯДЫ

1.1. Числовые ряды. Основные определения. Признаки сравнения

Выражение

u1 u2 ... n ...	n ,	(1.1)
	n 1

где ( un ) – последовательность чисел, называется числовым ря-

дом,

числа

u , u

,..., u

–

членами ряда,

– общим членом

ряда.

Суммы

u1, S2

u1 u2 ,

...,

u2 ...

un , ...

(1.2)

называются частичными суммами ряда (1.1).

Если существует конечный предел

lim S n

S ,

то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S – его суммой. Если

же lim S n

не существует или lim S n =ɣ, то ряд называется расхо-

дящимся.

Если в ряде отбросить первые k членов, то получится ряд

uk 1

2 ... ,

rk=

n k

называемый k-м остатком ряда (1.1).

Необходимыйɬпризнак сходимости. Если ряд (1.1) сходит-

ся, то

ɢlim un

0 .

(1.3)

0 , то ряд (1.1) расходится.

Следствиеɡ. Если lim un

гармоническим

рядом.

Ряд

называется

Для него

lim un 0 , но ряд расходится.

Признаки сравнения. Рассмотрим числовые ряды с неотри-

цательными членами

;

(1.4)

n 1

(1.5)

Теорема 1. Признак сравнения. Если, начиная с некоторого

	номера,			выполняются неравенства												0		un	vn , то из сходимости
	ряда (1.5) следует сходимость ряда (1.4), а из расходимости ряда
	(1.4) следует расходимость ряда (1.5).
		Теорема 2. Предельный													признак					сравнения.				Если
	un		, vn				для				всех		n	0	и	существует					конечный предел
	lim un			l		0 , то ряды (1.4) и (1.5) сходятся или расходятся од-
	n	vn
		vn
	новременно.
		Замечание. При использовании признаков сравнения часто
												1												ɍ
	применяется ряд											1	, сходящийся при p > 1 и расходящийся
										n	1	n p										Ɍ
	при p		1 и ряд								aq n-1 , сходящийся при								q		и расходящийся
								n		1											ɇ
	при	q	1 .																	Ȼ
																				Ȼ
		Примеры. Исследовать на сходимость ряды и в случае схо-
	димости найти сумму ряда.																ɣ
		1.				1		.									ɣ
			n	1		3 n	1								ɢ
		Решение. Данный ряд – геометрическая прогрессия со зна-
													ɪ					1	1		n
	менателем q						1 . Следовательно,									S	n		3		, S	lim S	n	3 ,
							3					ɨ					n			1		n	n	2
							3		ɬ									1		1		n		2
																		1		3
	ряд сходится.


						ɢ
		2.					1				.
		2.		ɡ						1)	.
			n 1			4n(n				1)
	ɨРешение. Так										как		дробь				1	1)	представима в					виде
	ɨРешение. Так										как		дробь		4n(n			1)	представима в					виде
	ɩ					1	1				1	, то частичная сумма ряда имеет вид:
		1				1	1			n	1	, то частичная сумма ряда имеет вид:
	4n(n )					4	n			n
ɟ						1			1				1					1
Ɋ		S n				1			1			. . .	1					1
		S n			4 2 8 3							. . .	4n(n 1) 4n(n 1)
					4 2 8 3								4n(n 1) 4n(n 1)
			1		1		1				1	1	. . .		1			1		1	1
			1				1				1	1			1			1		1	1
			4				2				2	3			n	1		n		n	n 1
			4				2				2	3			n	1		n		n	n 1
			1		1		1	1		.
			4			n		1
															6

Следовательно,

lim S n

lim

, ряд сходится и

4 n

его сумма равна 1/4.

3. 2 + 5 + 8 + 11 + ....

Решение. Данный ряд – сумма членов арифметической про-

грессии с разностью d = 3, поэтому

S n

2a1

d (n 1)

4 3(n 1)

(1 3n)n

n)n

lim

ряд расходится.

Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимо-

сти ряда. В случае выполнения установить, сходится ли ряд с по-

мощью признака сравнения.

... .

Решение. lim un

lim

0 ,

т.е.

необходимый

при-

знак не выполняется, ряд расходится.ɣ

...

ɢ... .

ln 2

ln 3

ln(n

)

Решение. lim un

lim

ɪ1

0 ,

т.е.

необходимый

при-

ln(n

знак выполняется. Исследуем сходимость данного ряда с помо-

щью признака сравненияɬ(теорема 1). Рассмотрим расходящийся

ряд

Так как

(ln n ) ,

то исходный

n 1

ln(n )

ряд расходитсяɡ.

2n 1

(2n 1)2

n 1

Решение.

lim un

lim

Рассмотрим

сходя-

(2n

1)22n 1

щийся ряд

– сумму членов геометрической прогрессии

n 1

22n

со знаменателем

1 .

Так как

то по

(2n 1)22n 1

22n 1

теореме 1 исходный ряд сходится.

Решение. lim un

lim

0 .

Рассмотрим

сходящийся

ряд

( p

1) и применим предельный признак сравнения

n 1

(теорема 2): lim

lim

0 . Сле-

n n

довательно, данный ряд сходится.

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

Для знакоположительных числовых рядов имеют место сле-

дующие достаточные признаки, по которым можноȻустановить их

сходимость или расходимость.

1. Признак Даламбера. Если для ряда

(un

n 1,2,3, ... )

(1.6)

un 1

существует

lim

, то при l < 1 ряд (1.6) сходится, при l > 1

– расходится. При l = 1 вопрос о сходимости ряда остается нере-

шенным.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряды с помощью при-

знака Даламбера:

...

... ;

1 2

1 2 3

б)

...

... .

103

10n

ɩРешение.

; un 1

. Так как

3n 1

lim

1)3n

lim

1 1

1 , то ряд сходится.

3n 3

б) un

; u n 1

(n 1) !

;

10n

lim

un 1

lim

1) !10n

lim

. Так как l =

, то данный

n!10

ряд расходится.

2. Радикальный признак Коши. Если для знакоположитель-

ного ряда (1.6) существует предел

lim n

, то при q < 1 ряд

сходится, при q > 1 – расходится. При q = 1 вопрос о сходимости

ряда остается нерешенным.

Пример 2. Исследовать сходимость рядов с помощью ради-

кального признака Коши:

2 2

3 3 . . .

. . . ;

б)

3 4

1 4

. . .

1 n

. . . .

Решение.

а) Так как q

lim n

lim

1 , то ряд схо-

4n 1

дится.

б) в этом случае

1 n

lim

1 n 1 n

lim

1 n 1

lim 1

2 n

Следовательно, ряд расходится.

3. Интегральный признак Коши. Пусть f(x) – непрерывная,

положительная и монотонно убывающая функция, определенная

при x

и несобственный интеграл

f (x) dx

1. Тогда ряд

n 1

un .

сходятся или расходятся одновременно, где f(n)

Пример 3. Исследовать сходимость рядов с помощью инте-

грального признака Коши:

2 p

3 p

. . . n p

. . . ;

б)

. .

2 ln 2 2 3 ln 2 3 4 ln 2 4

(n 1) ln 2 (n

Решение.

a) Исследуемый ряд –

. Здесь f (n)

. Если p

1, то

n 1

n p

lim

p 1

1 x p

x p

p 1 1

p 1

lim

1 ,

если

1 b

b p

если

т.е. интеграл сходится при p > 1 и расходится при p < 1. Соответ-

ственно и ряд

сходится, если p > 1 и расходится, если

n p

p < 1. При p

1 имеем

lim

lim (ln b

ln 1)

т.е. интеграл расходится. Следовательно, расходится ряд

1 .

ɇn 1

б) Исследуемый ряд –

. Здесь

(n ) ln 2 (n )

n 1

f (n)

. Рассмотрим

1) ln

))ɢ

d(ln( x

) ln

)

lim

ln(x

blim

ln(b

ɨ.

ln 2

Следовательно, данныйɬряд сходится.

1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная

сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

(1.7)

Ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как

положительные, так и отрицательные числа.

Теорема 3. Достаточный признак сходимости ряда (1.7).

Если ряд

n | ,

(1.8)

составленный из модулей членов ряда (1.7), сходится, то ряд (1.7)

также сходится.

Ряд (1.7) называется абсолютно сходящимся, если сходится

ряд (1.8).

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб80Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx
#
21.09.20191.77 Mб4Материаловедение ПУЧКОВ 2011 шпоры.doc