Математика№3

где SD – площадь круга D:

x2

y2

R2 ,

равная

R 2 . В итоге:

A

2 R 2

– искомая работа силы.

Пример 2. Вычислить интеграл J

x 2 y3dx

dy

zdz , если

Г

Г есть окружность x2

2

1 в плоскости z=2, обходимая против

часовой стрелки.

Решение. По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл све-

дем к поверхностному интегралу по кругу Т:

ɍ

T :

2

2

Ɍ

Итак, учитывая, что P(x, y, z)

x2 y3, Q(x, y, z)

1,

R(x, y, z)

2 ,

имеем:

ɇ

(1)

(x

2 y

3

(2)

J

(1)

dydz

dxdy

Ȼ

z

T

(x 2 y3 )

(2)

+

dzdx

3

x

2

2

dxdy .

y

ɣD

Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D Oxy,

ɢ

1.

Перейдем к

на который проектировался круг Т;

D: x2

2

полярным координатам: x=ɪrcos , y=rsin

,

[0;2

],

r

[0;1]. В

итоге:

ɨ

J

2

1

2

cos2

sin2

d

1

r5dr

.

3 d r2 cos2

sin2 rdr

3

0

0

ɬ

0

0&

8

Пример 3. Найти поток П векторного поля

F

(x2; y2;z2)

ɢ

x

2y

3z

через

полнуюɡповерхность

Т пирамиды

W:

6,

x

0, y

0, z

0

(рисɨ. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

ɩ

z

n

ɟ

2

W

Ɋ

0

3

y

x 6

Рис. 2.19

51

П

x

z)dxdydz

;

T

T1

T2

T3

T4

,

x

z)dxdy

( x

z)dxdy

;

T3

T4

так как проекция граней T3, T4 на плоскость Oxy имеет нулевую

площадь (рис. 2.21),

ɍ

x

z)dxdy

xdxdy;

T1

G

x

z)dxdy

( x

x

y)dxdy;

T2

G

Ɍ

П

6 x

3

6

2 y

x

y)dx

y)dxdy

dy

6

ɇ

G

0

0

3

y)

2

(6

y)2

dy

1 3

2

dy

18.

(6

2 0

6 2 y)

0

2

Ȼ

y

ɣ

3

ɢ

x+2y=6

ɪ

ɨ

G

ɬ

ɢO

6

x

ɡ

ɨ

Рис. 2.21

ɩ

ɟ

3. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

3.1. Оригинал и его изображения

Ɋ

Функция f (t) действительного

переменного t называется

оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1)

f (t)

при t

;

2)

существуют

такие

постоянные

M

и

S0

,

что

f (t)

MeS0t

для всех t;

53

3.2. Основные теоремы операционного исчисления

1. Теорема линейного изображения.

Для любых оригиналов

f (t)

и g(t) и любых чисел a, b

L(af (t) bg(t)) aL( f (t)) bL(g(t)) .

Пусть всюду в дальнейшем L( f (t))

F( p) .

2. Теорема подобия (изменения масштаба). Для любого

постоянного C

0

L( f (Ct))

1

F

p .

ɍ

C

C

3. Теорема смещения. Для любого числа

Ɍ

:

L(e t f (t)) F( p

) .

4. Теорема о дифференцировании оригинала. Если функции

f (t), f

(t),

, f (n) (t)

являются оригиналами, то

ɇ

L( f (t))

pF( p)

f (0);

Ȼ

L( f (t))

p2 F( p)

pf (0)

f (0);

L( f (n) (t))

pn F( p)

pn

1 f (0)

ɣ

f (n 1) (0).

pn 2

f

(0)

ɢ

5. Теорема о дифференцировании изображения.

L(tn f (t))

( 1

n F(n) ( p),

n

,2, .

ɪ

6. Теорема об интегрировании оригинала.

t

F( p) .

ɨ

L f (s)ds

0

Pɬ