Математика№3

3. Интегрирование

дифференциальных

уравнений

с помощью рядов

Многие дифференциальные уравнения не приводятся к квад-

ратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях.

Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены

ɍ

в виде степенных рядов, сходящихся в определенных интервалах.

В таких случаях ряд, являющийся решением дифференциального

Ɍ

уравнения, можно найти или способом неопределенных коэффи-

циентов, или способом, основанным на применении ряда Тейлора.

ɇ

Пример 5. Найти в виде степенного ряда решение диффе-

ренциального

уравнения

y

xy

,

удовлетворяющее

началь-

ным условиям y(0)=1,

y (0)

0 .

Ȼ

Решение. Первый способ. Применим метод неопределенных

коэффициентов.

Записываем

искомоеɣрешение в виде ряда

y

C

0

1

x

2

x 2

3

x 3

C

4

x 4

5

x 5

... .

Находим

произ-

водные:

ɢ

y C 2C

x 3C

x

2

3

C

x

4

...,

2

3

ɪ4C x

5

1

4

y

C

2

2 3C

x

4C

4

x2

4

5C

5

x3

6C

6

x4 ... .

3ɨ

Подставляя y и y в данное уравнение, получаем:

2C2

2 3C3 x

ɬ

4

5C5 x 3

5 6C6 x 4 . . .

4C4 x 2

.

x C

x 2

C

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7 . . . .

0

1

2

3

4

5

6

Приравнявɡкоэффициенты при одинаковых степенях x в обеих

частях последнего уравнения, получим систему:

ɨ

2C2

0,

ɩ

2

3C3

C0 ,

3

4C4

C1 ,

ɟ

4

5C5

C2 ,

Ɋ

5

6C6

C3 ,

6

7C7

C4 ,

.......... .......

Используя начальные условия,

из выражений для y и y находим:

y(0)

0 ,

C0

, y (0)

1,

C1

. Решая систему, полу-

a0

1

f (x)dx, an

1

f (x) cos nxdx,

1

(1.17)

bn

f (x) sin nxdx, n

1,2,3,...

ɍ

a0 , an , bn

Числа

называются коэффициентами Фурье функ-

ции f(x).

Ɍ

Теорема 7. Если функция f(x) кусочно-гладкая на отрезке [– , ],

т.е. f(x) и ее производная f (x) – непрерывны на отрезке [–

, ] или

ɇ

имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода, то ряд

Фурье функции f(x) сходится в каждой точке отрезка [– ,

]. При

этом сумма S(x), x

[–

,

Ȼ

], ряда Фурье (1.16) равна

f (x),

если

x

точка

непрерывности;

1

ɣ

S(x)

1

( f

(x

0)

f

(x

0)), если x

x

точка разрыва f(x);

2

0

0

0

( f (x

0)

f (x

0)),

если x

или x .

2

Здесь f (x0

ɪ

)

x

lim

f (x), f (x0

0)

x

lim

f (x) .

xo

0

x

xo

0

ɨ

(–

,+ ) и

Сумма S(x) ряда Фурье (1.16) определена для x

является 2 – периодической функцией.

Пример 1. Разложить функцию f(x)=e в ряд Фурье в интер-

ɢ

вале (– , ). Построитьɬграфик суммы ряда.

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье функции по фор-

ɡ

мулам (1.17), учитывая, что

ɨ

e

x

sin

xdx

sin

x

cos

x

e

x

C,

ɩ

2

2

e x cos

xdx

cos

x

sin

x

e x

C.

2

2

Ɋ

Имеем:

ɟ

1

x

e

e

2

a0

e

dx

sh

;

an

1

e x cos nxdx

1

cos nx

n sin nx

e x

n2

1

1

1

1

(

1) n

(e

cos n

e cos

n)

(e e

)

n2

1

n2

1

2sh

(

1) n

;

n2

1

bn

1

e x sin nxdx

1

sin nx

n cos nx

e x

1

(

n)

n2

1

n2 1

(e

cos

n

e

cos

n)

1

(

1) n 1 n

(e

e

)

ɍ

n2

1

2sh

(

1) n

1 n

.

n 2

Поскольку функция ex и ее производная непрерывны на от-