Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика№3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Сходящийся знакопеременный ряд (1.7) называется условно сходящимся, если ряд (1.8) расходится.

Ряд вида

(

1) n 1 u

u ...

( 1) n 1 u

...,

(1.9)

n 1

где un

0, n

12,,... , называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

(1.9) удовлетворяют условиям:

... n

un 1

... ,

lim un

0 ,то ряд (1.9) сходится. Сумма его положительна и не

такого ряда имеетɌзнак

превосходит первого члена u1 .Остаток rk

своего первого члена и не превосходит его по модулю: | rk | uk 1 .

Примеры. Исследовать на абсолютную и условнуюɇсходи-

мость ряды:

sin n

sin1

sin 2

sin 3

а)

. ;

б) 1

...

( 1)

;

(2n)

в) 1

...

( ) n 1

... .

Решения.

| sin1|

| sin 2|

| sin 3|

| sin n|

а) Ряд из модулей

. схо-

ɬ12

дится по признаку сравнения, так как его члены не превосходят

. Следователь-

соответствующих членов сходящегося ряда

n 1

но, исходный ряд сходится абсолютно.

б) Условия признака Лейбница здесь выполнены: ряд – зна-

lim

, n 1,2, ... .

кочередующийся,

(2n)3

(2(n

1))3

(2n)3

Следовательно,

этот

ряд

сходится.

Ряд

из

модулей

также сходится,

то есть исходный ряд схо-

n 1 (2n)3

8 n 1 n3

дится абсолютно. Найдем сумму данного ряда с точностью 0,01. Для этого возьмем столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет по модулю также меньше 0,01.Модуль

четвертого члена

,01

, поэтому с точностью 0,01 име-

216

ем:

0,89 .

в) Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку

Лейбница,

так

как

1 ,

1,2,3, . . . , lim

Этот

ряд

сходится условно, так как ряд

, составленный из модулей

1 n

членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).

1.4. Функциональные ряды. Область сходимости

функционального ряда. Степенные ряды

Ряд

вида

u1(x)

u2 (x)

un (x)

un (x) , членами

которого являются функции un (x) , называется функциональным.

Множество всех действительных значений аргумента x, для

которых функциональный ряд

n (x)

(1.10)

n 1

становится сходящимся числовым рядом, называется областью

сходимости

этого

Функция

S (x)

lim S n (x) ,

где

ряда.

S n (x)

1 (x)

un (x) ,

принадлежит

области

2 (x)

сходимости,

называется

суммой

ряда,

функция

Rn (x)

S(x)

S n (x)

– остатком функционального ряда.

Для определения области сходимости ряда (1.10) можно ис-

пользовать известные признаки сходимости числовых рядов, счи-

тая x фиксированным.

ɩФункциональный ряд (1.10) называется равномерно сходя-

щимся на промежутке p

R, если для любого

> 0

существует

ɟномер n0, не зависящий от x, что для всех n > n0 и для всех x

выполняется неравенство

| R n (x)|

, то есть

| S(x)

S n (x)|

где Rn(x) – остаток ряда.

Признак

Вейерштрасса.

Если |un(x)|

Cn, (n=1,2,...)

при

[ ; b] и числовой ряд

C n

сходится,

то функциональный ряд

(1.10) сходится на отрезке [a, b] абсолютно и равномерно.

Теорема 4. Если члены сходящегося ряда (1.10) имеют не-

прерывные производные

при

[ ; b]

ряд из

производных

n 1

(x)

сходится равномерно на [a, b], то ряд (1.10) можно диф-

ференцировать почленно:

u (x)

(x), x [ , b] .

n 1

Теорема 5. Если члены ряда (1.10) непрерывны на [a, b] и

этот

ряд

сходится равномерно

на

отрезке

[a, b],

то

ряд (1.10)

можно

интегрировать почленно:

un ( x) dx

un ( x) dx .

n 1

n 1 a

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

C n (x

a) n

1 (x

2 (x

a)2

.. . C n (x ) n .. . ,(1.11)

n 0

где Cn и a – действительные числа. ɣОбласть сходимости степен-

ного ряда (1.11) имеет один из следующих видов:

(a – R , a + R), [a – R , a + R), ( a – R , a + R], [a – R , a + R].

Число R

называется

радиусом сходимости, а интервал

(a - R , a + R) – интервалом сходимости степенного ряда (1.11).

Радиус сходимости можно находить

по формулам:

R ɬlim

lim

n | Cn |

если эти пределы существуют. В частных случаях R может быть

равен 0 или .

Вопрос о сходимости степенного ряда (1.11) в концевых

точках области сходимости,

то есть при x = a – R, x = a + R, ис-

следуется особо (с применением известных признаков сходимо-

ɩсти числовых рядов).

Ряды, полученные почленным дифференцированием и ин-

ɟтегрированием степенного ряда, имеют тот же радиус и интервал

сходимости, и их сумма внутри интервала сходимости равна со-

ответственно производной и интегралу от суммы первоначально-

го ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда

1 n 2nx .

Решение.

При фиксированном x этот ряд – знакоположи-

тельный. Применим

нему

признак

Коши.

Найдем

предел

lim n

un (x)

lim 1

2x ;

l<1

– при

2x < 1,

т.е. при

x < 0. При l = 1, т.е. при x = 0 данный функциональный ряд станет

рядом

. Общий член ряда

1 n

при n

стремится

к числу e, и поэтому ряд расходится (не выполнен необходимый

признак сходимости). Итак, область сходимости

данного

ряда

(–

, 0).

Пример 2.

Можно

ли

почленно

дифференцировать

ряд

sin x

в области его сходимости?

n 1

Решение. Областью сходимости данного рядаɇявляется вся

числовая ось R=(–

, +

), так как для любого x

R верно неравен-

ство

sin nx

а ряд

n 1

n4 сходится. Члены исходного ряда

имеют непрерывные производные

ncos nx

cos nx ,

sin nx

ɢ4

ряд из производных

cos nx

сходится равномерно на R по при-

n3ɪ

знаку

Вейерштрасса.

Действительно, верны неравенства

cos nx

n3 , n

, а ряд

n 1

сходится. По теоре-

12,, ... ,

ме 4 исходныйɢряд можно почленно дифференцировать в области

R его сходимости, т.е.

ɨ n 1

sin nx

, x

R .

n 1

ɩПример 3.

Найти

область

сходимости

степенного

ряда

x n

n 1

Решение. Находим

радиус

сходимости

ряда.

, Cn

lim

C n

lim

Это

означает,

что

C n

исходный ряд сходится абсолютно при

1 . Далее, иссле-

дуем сходимость ряда при x = 1. Если x = 1, то данный ряд ста-

новится

гармоническим

рядом

который

расходится.

x = –1,

Если

то

получаем

знакочередующийся

ряд

... (

1) n 1 . ..

, который сходится по признаку Лейб-

ница. Следовательно, областью сходимости ряда является полу-

интервал [–1, 1).

При

ряд

сходится

абсолютно,

при

1 – условно.

Пример 4. Найти сумму ряда

... (| x |

1) .

Решение. Обозначим искомую сумму ряда через S(x), т.е.

S(x)

x 3

x 4

x 5

x 6

(1.12)

сходится аб-

Можно проверить, что исходный ряд при

солютно. Дифференцируем почленно равенство (1.12):

S (x)

x 2

x 3

5 ...

, | x|

(применена формула суммы членов убывающей геометрической

прогрессии). Отсюда, интегрируяɪи учитывая, что S(0)=0, находим

S(x) 0

t 1 dt

S (t)dt

0 1 t

x ln | 1

x |, | x | 1 .

Пример 5. Найти сумму ряда

2x2

x3 x4

.. ,| x | 1 .

ɨРешение. Обозначим эту сумму ряда

через S(x),

т.е.

S(x)

2 x2

x5 .. .

Данное

равенство

перепишем

3x 2

4x 3

5x 4

так:

S(x)=x Q(x),

где

Q(x)

. .

Почленное

интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов

убывающей геометрической прогрессии:

Q(t)dt

2tdt

3t2dt

4t3dt

5t4dt ...

...

, |

x |

1 .

Отсюда найдем Q(x): Q(x)

x 2

поэтому

1)2

искомая сумма S(x) такова: S(x)

Q(x)

1)2

1.5. Разложение функции в ряд Тейлора

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окре-

стности точки x=a, то для нее можно написать ряд по степеням (x–ɍa):

f (a)

(a)

f ( n)

(a)

f (x)

f (a)

)

...

Ɍa) .

( n) (a)

)

n 0

x=a.

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x) в точке

Теорема 6. Если функция f(x) и все ее производные ограни-

чены на интервале (a–R, a+R) одним и тем же числом, т.е. суще-

ствует

постоянная

M>0

такая,ɢчто выполняется неравенство

f (n) (x)

M , x

R, a R), n

,1,2,... ,

то функция f(x) пред-

ставляется сходящимся к ней рядом Тейлора:

ɨ(n)

(a)

f (x)

ɬn!

(x )

, x (

R, a

R) .

(1.13)

Равенство (1.13)

верно и в случае,

когда остаточный член

(x)

f ( k ) (a)

(x )

стремится к нулю

ряда Тейлора R

f (x)

k !

при n

. Остаточный член Rn(x) можно вычислить по формуле:

Rn (x)

(x )

f ( n 1) [a

a)],

1 .

(1.14)

(n 1)!

Если lim R n (x)

0 , то ряд не сходится к данной функции.

Если в ряде Тейлора положим a=0, получим частный случай

ряда

Тейлора,

который

называют

рядом

Маклорена:

f (x)

f (0)

(0)

f (0)

f ( n) (0)

. .

Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

x 2

...

x n

... ( x

R);

sin x

...

( 1)

n 1

x 2n

... (x

R);

(2n

1)!

cos x

x 2

x 4

...

(

1)n

x 2n

... (x

R);

(2n)!

x)m

m(m

) x 2

m(m

1)(m

) x3 ...

m(m

1)...( m

)

x n

... (| x |

1);

ln(1

x 2

x 3

. . .

(

)

x n

. . .

(| x| 1) .

Пример 1. Разложить

функцию

f (x)

sin

ряд

Тейлора в окрестности точки x=0.

Решение. Имеем

f (0)

Вычисляем

sin 0

f (x)

cos

т.е.

f (0)

cos

. Далее после-

довательно получаем:

(0)

sin

2 ,

(0)

cos

(0)

sin

2 .

ɟОтметим, что

f ( n) (0)

n2 n

(

. Записываем ряд Тейлора:

Ɋ sin x

1) n

2 1

(

2 n

Пример 2. Разложить функцию f (x) 9 x 2 в ряд по степеням x, используя разложения основных элементарных функций.

	Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением
	(1		x)m			mx	m(m				1)	x2		m(m				1)(m				) x3			... .	(1.15)
								2!										3!
																										x	2	1
		Преобразуем					исходную						функцию:									9	x 2		1		2	2
		Преобразуем					исходную						функцию:									9	x 2		1			.
																										9
	Подставим в					формулу			(1.15)					m			1 ,	а		вместо					x выражение
																	2											ɍ
	x 2		. Получим следующее разложение:
	9		. Получим следующее разложение:
													1	1											Ɍ
									x2				1	1			1			x2		2		ɇ
			9 x2				1						2 2				1					2
			9 x2			1	1						2 2
							2		9					2!						9
							2		9					2!						9	Ȼ
			1	1	1	...	1	n	1						n		ɣ.				Ȼ
			1	1			1						x2										x2
			2	2			2
			2	2			2															1
						n!								9									2		9
														ɢ
				1		4	1 3			6				1 3 5... (2n								3 )		2n
			222!92		x		233!93		x		ɪ						2n n!9n						x			.
								ɨ					2	1		, т.е. при \|x\|<3.
								ɨ
	Разложение имеет место при											x
						ɬ						9
				ɢ
	1.6. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
			ɡ
		1. Приближенное вычисление значений функций
	ɨПусть функция f(x) в окрестности точки a разлагается в ряд
	Тейлора. Тогда приближенное значение функции f(x) в любой
	ɩ
	точке этой окрестности может быть вычислено как частичная
	сумма этого ряда.
ɟ		Пример 1. Вычислить 3 130												с точностью до 0,001.
Ɋ																				1					1	1
Ɋ		Решение.				3 130		3 125				5		3 125 1						1			5	1	1	. Вос-
																			25						25
	пользуемся					биномиальным											рядом							(1.15)				при
	m	1	, x	1		( 1,1) . Получаем:
		3		25
													18

																	1	1	1			2	1	1		1	1							3 ...
				3 130				5 1				1		1			3	3	1		1	2	3	3		1	3					1		3 ...
												3	25					2!			25					3!						25
				5 1				1			1		1				2 1				1	1		2			5 1					1		...
				5 1				3		25			3				3 2!		252			3		3			3 3!				253			...
								3		25			3				3 2!		252			3		3			3 3!				253
				5,0000							,0667						,0009 ... .
	Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий
	член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним
	члены					можно						отбросить.							С		указанной					точностью										ɍ
	члены					можно						отбросить.							С		указанной					точностью								получим
	3 130 ,0000										0,0667						,067 .																	Ɍ
				Пример 2. Вычислить e0,1																	с точностью до 0,001.													Ɍ
				Решение. Воспользуемся разложением																										ɇ
														e		x	1				x 2	x 3		. . .		x n				ɇ
																x					x 2	x 3				x n				n		,
																					2!	3!								n		,
									x n		1										2!	3!				Ȼn!
	где			R n					x n		1		e	x	,		0		1,		x	R .		При			x=0,1						получаем:
	где			R n			(n				1) !		e		,		0		1,		x	R .		При			x=0,1						получаем:
							(n				1) !											ɣ
																						ɣ
	e	0,1		1		0,1			(01, )2					(01, )3					.		(01, ) n					Определим,									сколько
	e			1		0,1					2!					3!			.		ɢ. .					Определим,									сколько
											2!					3!					n!
	надо			слагаемых								для				достижения						требуемой					точности.								Так как
	0,1			[0,0,5],								то					0	ɪ						Тогда							e x				0,5	2 ;
	0,1			[0,0,5],								то					0		x		0,5	.		Тогда							e x				0,5	2 ;
						n	1									n	1
	R n			x					e x				2x			ɨ				При		x=0,1				имеем						неравенство:
	R n			x					e x				2x					.		При		x=0,1				имеем						неравенство:
				(n		1)!						ɬ
				(n		1)!							(n			1)!
	2 (01,) n					1			,001ɢ. Полагая n=2, получим 2 0,001																						,0003				,001 .
		(n		) !																						6
	Значит,				ɡ																взять				три							слагаемых:
	Значит,									достаточно											взять				три							слагаемых:
	e	0,1 ɨ								(0,1)			2				,105 .
	e						,1										,105 .
	ɩ										2!																10	5	.
ɟ				Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до																							10		.
				Решение. Применим разложение
			1	x							x3			x5				x7
Ɋ	ln		1	x		2		x			x3			x5				x7	... .			Этот			ряд			сходится								при
	ln		1	x		2		x			3				5			7	... .			Этот			ряд			сходится								при
			1	x							3				5			7
	x		(–1,1). Если								1		x				, то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму
											1		x
	ln 2			2		1			1		1			1			1				1			1		. Погрешность этого
	ln 2			2		3			3		3			5			3 ...				2n	1	3	2n 1		. Погрешность этого
						3			3		3			5			3				2n	1	3
																					19

равенства

выражается

остатком

ряда

Rn	2	2n	3	2n	5	. Для его оценки все

множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2n+3. Получим

					Rn							2									1			1			1						...								2						1		ɍ
								(2n 3)32n 3															32			34														(2n 3)32n 3								1	ɍ


																																														1
																																														1	Ɍ
																																									1							9
				1										.		Решая							неравенство																		1					10	5	, нахо-
		4(2n					)32n 1							.		Решая							неравенство													4(2n					3)3			2n	1	10		, нахо-
дим, что n=4:															1									1						,000001											10 5				ɇ
дим, что n=4:																														,000001											10 5			. Итак,
												4 11 39									866052																				Ȼ
												4 11 39									866052
ln 2						1			1				1				1			1			1		1					1				1
ln 2				3					3			33					5		35				7	37						9			39
				3					3			33					5		35				7	37						9			39
,666667											,024691										,001646					,000131													0,000011							,69315 .
																												ɢ
				2. Приближенное вычисление определенныхɣ																																									интегралов
				Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд,
																							ɪ
а пределы интегрирования принадлежат области сходимости это-
го ряда, то соответствующий определенный интеграл можно вы-
числить с заданной точностью.
															ɬ																							sin x
				Пример 4. Вычислитьɨинтеграл																															1/4			sin x					dx	с точностью до
				Пример 4. Вычислитьɨинтеграл																															1/4								dx	с точностью до
0,00001.											ɢ																								0					x
0,00001.											ɢ
						ɡ																																							на x,		получим
				Решение. Разделив почленно ряд для sin x																																									на x,		получим
			ɨ							x 3					x 5
	sin x					x			3!						5!						.		1		x	2						x	4				x		6				. . Этот ряд сходит-
	sin x								3!						5!										x							x					x
ɩ														x											3! 5! 7!
	x													x											3! 5! 7!
ся при x									R. Интегрируем его почленно.
ɟ									1/ 4 sin x												1/ 4					x 2							x 4							x6
Ɋ									0					x				dx			0		1			3!							5!							7!	...			dx
														x												3!							5!							7!

														x				x3					x5						x7				...							1/ 4
																		x3					x5						x7											1/ 4
															3				3!		5			5!
															3				3!		5			5!		7				7!										0
												1					1					1			1						1								1			1		...
												4			3				3!		43			5		5!				45					7				7!		47			...
												4			3				3!		43			5		5!				45					7				7!		47
												,25000									,00087									,0000016 ....

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx
#
21.09.20191.77 Mб4Материаловедение ПУЧКОВ 2011 шпоры.doc