Математика_практикум_Ч1

Белорусский национальный

технический университет

Кафедра «Высшая математика № 1»

У

Т

Н

Б

й

МАТЕМАТИКА

р

Практикуми

о

т

и

з

ЧАСТЬ I

о

п

е

Р

Минск

У

Т

Н

Б

МАТЕМАТИКА

й

и

Практикум

р

В 4 частях

т

и

оЧАСТЬ I

з

о

п

е

Р

М34

Составители:

Е. А. Бричикова, Е. А. Герасимова, Л. А. Раевская,

Е. В. Сагарда, В. И. Юринок, Т. С. Яцкевич

Т

Рецензенты:

Н

У

А. Н. Исаченко, В. П. Грибкова

Б

й

и

р

о

Издание нап сано впрактикум

: в 4 ч. / сост.: Е. А. Бричикова [и др.]. –

Математика :

М34 Минск : БНТУ, 2014–

. – Ч. 1. – 2014. – 134 с.

стоит

ISBN 978-985-550-340-9 (Ч. 1)

ной

соответствии с действующей программой курса «Математика»

для студентов

нженерно-технических специальностей БНТУ.

Практикум с

из 34 занятий по основным темам разделов «Линейная алгебра

и аналитическая ге метрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциаль-

типовых

ное исчислениезфункций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функ-

ций неск льких переменных». Каждое занятие содержит задания для аудиторной и са-

мостоятель

работы студентов. Задания снабжены ответами, что позволит студен-

там роконтролировать правильность решений задач. Издание содержит также вари-

анты

расчетов, которые могут быть использованы и для индивидуальных за-

даний студентов, и для проведения текущего контроля знаний студентов.

Практикум предназначен для студентов дневной и заочной форм обучения и по-

еслужит лучшей организации их самостоятельной работы.

Р

УДК 519.2 (075.8)

ББК 22.1я7

ISBN 978-985-550-340-9 (Ч. 1)

© Белорусский национальный

ISBN 978-985-550-341-6

технический университет, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Занятие 1. Декартова и полярная системы координат.

Построение графиков функций....................................

5

Занятие 2. Матрицы и действия над ними .....................................

6

Занятие 3. Вычисление определителей .........................................

11

Занятие 4. Обратная матрица.

У

Решение матричных уравнений.................................

Т

15

Занятие 5. Решение невырожденных систем

линейных уравнений

....................................................

Н

18

Занятие 6. Ранг матрицы

20

Занятие 7. Решение произвольных и однородных систем

линейных уравнений

Б

22

....................................................

Занятие 8. Векторы. Линейные операции над векторами.

Скалярное произведение векторов............................

25

Занятие 9. Векторное и смешанное произведения векторов .....

28

и

Занятие 10.

Прямая на плоскости ..................................................

й

31

Занятие 11.

Плоскость ......................................................................

р

34

Занятие 12.

Прямая в пространстве.

Прямая и плоскость в п остранстве .........................

36

Занятие 13.

Кривые вт р

п ядка на плоскости ...................

40

вт

Занятие 14.

Поверхности

го порядка...................................

46

Занятие 15.

Функция. Предел п следовательности

и предел функцииго..........................................................

48

з

Занятие 16.

Первый второй замечательные пределы .............

52

Занятие 17.

Сравнен е бесконечно малых функций.

Непрерывностьи

функций. Точки разрыва...............

55

п

Занятие 18.

Пр изводная функции, ее геометрический

Занятие

и физический смысл .....................................................

57

параметрически и неявно.

19.оПроизводная функции. Логарифмическая

Р

роизводная....................................................................

61

20.

Дифференцирование функций, заданных

Дифференциал функции..............................................

63

Занятие 21.

Производные и дифференциалы

высших порядков..........................................................

66

Занятие 22.

Правило Лопиталя-Бернулли....................................

68

Занятие 23.

Формула Тейлора.........................................................

70

3

Занятие 24. Монотонность функций. Экстремум.

Наибольшее и наименьшее значения функций.

Выпуклость и вогнутость графиков функций ........

74

Занятие 25. Асимптоты. Построение графиков функций..........

79

Занятие 26. Кривизна кривой..........................................................

81

Занятие 27. Область определения и область значений функции

нескольких переменных. Частные производные

....

83

Занятие 28. Полный дифференциал функции нескольких

переменных и его применение.

Н

Частные производные и дифференциалы

У

высших порядков..........................................................

85

Занятие 29. Производные сложных функций несколькихТ

переменных. Производная функции,

заданной неявно

............................................................

88

й

Занятие 30. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производная по направлению .................. ГрадиентБ

92

Занятие 31. Экстремум и условный экстремум функции

р

нескольких переменных ..............................................

94

Занятие 32. Наибольшее и наименьшее значение функции

о

нескольких переменных ........ив замкнутой области

95

Занятие 33. Комплексные числа ..............и действия над ними

97

т

Типовой расчет № 1 Элемен ы линейной алгебры

и

и анали ической ......................................геометрии

101

Типовой расчет № 2 Предел функции. Производная

з

и ее пр менен е к исследованию функций

о

и построению графиков .............................................

116

п

е

Р

Аудиторные задания

1.1

Построить графики функций:

У

3

x

2

x 1

, 0 x 2,

log 2 cos x

y

x

2

1)

y 2

;

2)

2 | x 1|

;

3)

y

Т

;

x2

2x, 3

x

0.

Н

1 cos2x

4)

y 2x | x 2 | 1; 5)

y

;

6)

y sin | x | 1;

2

Б2

7)

y log

x2

1; 8)

y

1

.

1/ 2

| x | 1

й

1.2 Построить графики функций, заданных параметрически:

1) x 1 2t, y 2 t ;

2)

x t, y t

4 ;

x 2 cost,

y sin t ;

и

t 2 , y

t t3 ;

3)

4)

x

1

5)

x at2 , y bt3 ;

о

6)

x 2 cos3 t,

y 2sin3 t ;

7)

x 1 2 cost,

y 3 2sin t ;

8)

x 2(t sin t), y 2(1 cost) .

1.3 Записать уравнения кривыхрв полярных координатах:

1)

y x ;

и

2) y 1;

3) x2 y2 4 ;

x2 y2

з

т5) x y 1 0 ;

4)

2y

;

6)

x2 y2

a2 .

Построить

6

1.4

граф ки

функций,

заданных

уравнением в

полярн й системе координат:

п

4) r e

1)

r

1;

2)

r 2 ;

3)

r cos 2 ;

;

е

r 2(1 cos ) ;

8) r

5)

r

4cos ;

6)

r 3sin 2 ;

7)

3 2 cos

;

Р

2

2 cos3 ; 11) r 2

36sin 2 .

9)

r

;

10) r

1 sin

Домашние задания

1.5

Построить следующие кривые:

5