Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_практикум_Ч1

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Занятие 6. Ранг матрицы

			Аудиторные задания
6.1	Найти ранг матрицы:
3	1	2	2		1	5	6	У
1) 4	3	3 ;	2) 1	1 3			5 .	У
1) 4	3	3 ;	2) 1	1 3			5 .
					5	1
1	3 0		1		5	1	3

																		Н
	6.2			Найти ранги матриц с помощью элементарных
преобразований или методом окаймляющих миноров и указать
какой-либо базисный минор.																	Б			Т
																	Б
	1			2			4 5						8		1 7		5		5

1)	2			1			0 6				;		2)	2 1		3	1	1 ;
		2		4		8								1	1 1		1	1
		2		4		8			4					1	1 1		1	1
	1			3	5 1								3		1 3		2 5

	2			1	3			4					р					4
3)	2			1	3			4						5	3й2 3			4		;
3)										;			4)							;
		5 1 1 7										о		1	3	5	0 7
														и
		7		7	9			1			т			7	5 1		4 1

		1
		1		0			2			4

	2			1			3			1
5) 1				1			5			3	.
				о					и2
	4			2			6		и2
			п
	0			1		з7 7
	6.3 При каких значениях ранг матрицы равен двум:
	1			3 4											2	3

Р				0 1 ;									2) 0		2 4		?
1)				0 1 ;									2) 0		2 4		?
														0	0	7
е4 3 3														0	0	7

	6.4			Проверить справедливость неравенств rAB rA , rAB rB , если

	1	0

A	1	2
	3	1
	3	1

0		2

B	3	1
	2	0
	2	0

Домашние задания

6.5 Найти ранги матриц и указать какой-нибудь базисный

минор.																																	У2
2				1					3						2 1				1 3			1					1			2		1	У2
2				1					3						2 1				1 3			1
				2															2 1								0		1		2		3
4				2					0						1 0				2 1			1				Б						Т
1)												; 2)														Б				2		1	0 .
1)	0			0 6								; 2)				1 3			11 2				5		; 3)		1			2		1	0 .
	0			0 6												1 3			11 2				5				1			3	1		1
																											1			3	1		1
	4			2				1								1 4			10 5				4					Н
	4			2				1								1 4			10 5				4					2		5	0		1
																												2		5	0		1

6.6			Проверить справедливость неравенства rA B rA rB , если
	1		1					1					1				1		1		й
A			1						, B								2	р
A		2	1					3	, B						2		2		2	.
																	о
		3	2					4							1		1		1	и
		3	2					4							1		1		1
														т
														т
											и																				1		2	5
								з							2;				2.							r 3,					2		1	6	;
Ответы:				6.1						1)					2;		2)		2.	6.2		1)				r 3,					2		1	6	;
																															2		4	4
		п					8		1										1	3		1										3	1	5
																			1	3		1										3	1	5

2) r			2,				о2 1					; 3) r 3,							2 1			3		; 4) r 3,								5	3 4		;
е																			7	7		1										7	5	1
е
Р
	2,					1			0			. 6.3 1) 3							; 2) 0,				2 . 6.5 1) 2; 2) 3; 3) 3.

5) r
					2				1

Занятие 7.

Решение произвольных и однородных систем линейных уравнений

																		Аудиторные задания
	7.1			Исследовать														системы					на			совместность																		и			в случае
совместности решить их.																																																У
																																														Т
	2x y z 2,																								2x1 7x2										3x3					x4						6,
1) x 2 y 3z 1,																							2) 3x1						5x2						2x3					2x4 4,
	x 3y 2z 3.																								9x 4x								2		x 7x										4	2.
																											1						2				3								4
																																			Б
																									x 2x x												3x								x 1,
3)	x1 2x2 x3 4x4 x5 1,																						4)			1						2				3						4				5
		2x1		3x2 2x3 x4 x5 3.																						1					2					3						4				5
		2x1		3x2 2x3 x4 x5 3.																					x 7x x															Н
																									x 7x x													4x							x		5.
																										1					2					3						4				5
	3x1			x2				x3			2x5							18,							x1 x2 x3 x4																	2,
				5x2					x4 x5									7,							x1 x2 x3 x4																	2,
	2x1			5x2					x4 x5									7,								x		2x					2x					x							5,
5) x1 x4 2x5 8,																							6)			x		2x					2x					x							5,
5) x1 x4 2x5 8,																							6)			1	й2										3							4		1,
	2x																									2x			x			2	3x					2x							4	1,
				x				x			x						10,										1					2					3								4
			2	x				x		4	x						10,							и
			2			3				4					5										x			2x					3x					6x								10.
						3x x											1.								x			2x					3x					6x								10.
	x x				2	3x x								4			1.									1						2					3								4
		1			2				3					4								р
													и
	x 3x					2		4x x								4				2,					x 5x							2	3x x										4		1,
		1				2				3						4					о					1						2					3						4
									з
7)		2x 3x					2		x					5x					3,				8)			2x 10x								2						3x				4	0,
		1					2			3								т4									1							2										4
	3x								5x 4x										4	6.					4x 20x										2	6x x										4	2.
		1										3							4								1								2					3						4
	7.2			Решить									днородную систему															и найти									фундаментальную
		п
систему решений.
е					о																		3x1 2x2 x3 0,
	x1 2x2							x3			0,
1)				9x2 3x3 0.																		2)	2x1 5x2 3x3 0,
	2x1			9x2 3x3 0.																			3x 4x							2	2x 0.
																									1					2						3
	2x1			2x2				x3 3x4										0,							x1 4x2 3x3 6x4 0,
3)	2x1			2x2				x3 3x4										0,				4)			2x		5x					x 2x										0,
3)				x				3x x									0.					4)			2x		5x					x 2x										0,
Рx				x		2		3x x							4		0.									1					2				3					4
			1			2				3					4								x		7x				10x						20x						0.
																							x		7x			2	10x						20x				4		0.
																								1				2					3						4
																							22

x		2x		2	3x			x	4	0,
	1					3
	2x		4x			x		x		0,
					2		3		4
		1
			6x			4x				0.
3x					2			3
		1

3x			x	2	2x			3	x		4	x		5	0,
		1
			3x			x			2x				x		0,
6x					2			3				4
		1													5
	x	2x			x			x			x			0.
				2			3			4
	1												5

	7.3 Решить системы методом Гаусса:																																						У
	x1					x2 x3 4,																		x1 x2 x3 3,															У
1)				x1 2x2 3x3 0,																2) 2x1 x2 x3 2,
	2x										2x				16;							x		4x		2	2x				5;
					1								3										1			2				3				Н
	3x y 2z 0,																					x 2 y 3z										6,						Т
3)																											6z 9,
3)	4x 3y 3z 0,																			4) 4x 5y							6z 9,
					3y								0;																	Б
				x	3y								0;										7x 8y							6.
																								й
																	Домашние задания
																							и
	7.4				Исследовать системы уравнений и в случае совместности
решить их.
				x	2x					2	x			1,								x		x	2	3x				1,
			1							2			3										1		2				3
1)	2x1 3x2 5x3 3,																			2)		2x1 3x2 2x3 2,
	3x 5x								2		6x 7.											4x x				2	4x 4.
			1						2				3							р1						2				3
	2x1 3x2 1,																	о						x1 5x2 3x3 x4 1,
											з					т								x1 5x2 3x3 x4 1,
											з
	3x1 4x2												1,												2x1 10x2 3x4 0,
3)														и						4)					2x1 10x2 3x4 0,
	x1 2x2 1,													и								4x 20x						2	6x x							4	2.
	4x				5x						1.													1				2			3					4
	4x				5x					2	1.
			1							2
	7.5				Решить системы:
е							оx x 0,
	x					2	оx x 0,
			1					2					3									3x1 x2 2x3 x4 0,
Р		3x			x 2x 0,															2)
1)		3x			x 2x 0,															2)		x		2x			4x 2x									0.
				п1 2									3									x		2x		2	4x 2x								4	0.
	4x x									3x 0.													1			2				3					4
			1					2					3
Ответы: 7.1 1) Система несовместна;
						9C						2			10 5C				C

	C										2										2
2)				1							2			,				1			2	, C ,C			2		C , C					2	R					;
2)														,								, C ,C					C , C						R					;
							11										11							1					1
							11										11
																						23

3)	9 C 14C			C		4C 7C		3C	1
		1	2	3	,	1	2	3	,	C	,	C	,	C
										1		2		3
										1		2		3
			7				7

C	,
1

C	,
2

R

;

	3 5C	13C		5C		4 C

			2				2
4)	1		2	3	,		2	, C1	, C2	, C3	C1, C2 , C3	R	;
4)		5			,	5		, C1	, C2	, C3	C1, C2 , C3	R	;
		5				5

5)	x1 5,								x2 4,												x3 3,												x4 1,				x5 2 ;																									У
6) C,C 1,C 2, C 3																											C R ;
6) C,C 1,C 2, C 3																											C R ;
7) система несовместна;																																																	Н
																																																	Н
										3 5C 25C																						10C 2C
																	1									2										2	1
8)			C ,C					2	,																					,										C ,C								R									.
8)			C ,C						,																					,										C ,C								R									.
					1																																							1		2										Т
																																												Б
																		9																		3								Б
					3							C																						3, 1, 5 ;
					3							C
7.2 1)								C1,						1		, C1					C1 R ;																						2)			x1 x2							x3 0 ;
7.2 1)								C1,								, C1					C1 R ;																						2)			x1 x2							x3 0 ;
					5						5																										й
																	5C																																8						5

		7C 8C																			2													R ; 1, 1, 0, 0 ;
3)						1					2 , C ,										2		, C	2				C C																							, 0,						, 1 ;
3)						1					2 , C ,												, C					C C																							, 0,						, 1 ;
						7									1			7													1 2																		7						7
						7												7																															7						7


4)	19C 38C															7C 14C																							19 7																38											;
4)						1					2						1					2				о																																								;
														,											,C1, C2									C1C2 R ,										,			, 1, 0 ,												, 7, 0, 1
																																				и
						3													2																				3 2																3
						3													2																				3 2																3
									3C 6C													5C 10C												р
									3C 6C													5C 10C																										3 5													3 5
5)		C ,C ,									1						2			,		1									2				C ,C R									, 1,0,						,				,				0,1,					,			;
5)		C ,C ,																		,															C ,C R									, 1,0,						,				,				0,1,					,			;
					1	2																														1	2
														4												4
														4												4																						4 4													2 2
6)											з																																																							.
6)			8C 9C				2			6C					23C		2			22C 11C									2										4					3 11								9						23			11					.
					1		2				1						2					1							2
								,										,				т								, C1, C2						C1C2 R ,						,			,		1, 0 ,								,					,				, 0, 1
								,										,												, C1, C2						C1C2 R ,						,			,		1, 0 ,								,					,				, 0, 1

					26									26								26																13						13		13			26									26			26
					26									26								26																13						13		13			26									26			26
7.3 1)					C 8;2Cи4;C ; C R ;																																2) несовместна;
3) 3C;C;5C ; C R ; 4) (–2;1;2).
							о																														5 7C 8C
																																																										C R ;
7.4					1)					Несовместна;																					2)													,						, C
7.4					1)					Несовместна;																					2)													,						, C
				п

																																							5							5
3)еx 1, x																																	3 5C 25C 10C 2C
																																	3 5C 25C 10C 2C
													1; 4)																							1			2							2					1														.
			1							2												C1,C2									,										,														C1,C2 R
Р7.5 1)
																																				9										3
																																				9										3
					x1 0, x2										0, x3 0 ; 2) {(0,2C1 C2,C1,C2 ) \| C1,C2 R}.
																																		24

Занятие 8.

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Аудиторные задания

8.1

Определить, для каких векторов

выполняются

следующие условия:

| a b | | a |

| b | ;

2) | a

b | | a | | b | ;

| a

b | | a b | ;

4) | a b | 0 ; 5)

| a |

| b |

8.2

Даны векторы

2 j

j .

Определить

проекции на координатные оси следующих векторов:

b ;

2a ;

2a 3b .

1;3) и

8.3

Проверить коллинеарность векторов

a(2;

b( 6; 3; 9) .

Установить, какой из них длиннее другогойво сколько раз, как они

направлены – в одну или в п отивоположные стороны.

При каких α и вект

8.4

ы a i 5 j

и b

i 2 j k

j k

коллинеарны?

ортогональны, а век оры a

модули

8.5

Найти направляющиеокосинусы вектора

a(6; 2; 3) .

8.6

Определ ть

суммы и разности векторов a

5 j

и b

i j

4k .

8.7

Даны

звершины треугольника A 4; 1;2 , B 0;1; 3 , C 6;5;3 .

Найдите

AD ,

координаты

вектора

если

–

медиана

тр угольника; 2) координаты точки O пересечения медиан этого

тр угольникап.

A 4;4;0 , B 0;0;0 , C 0;3;4 , D 1;4;4 .

8.8

Даны

точки

Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция.

8.9

Дан

треугольник

вершинами

точках

A 2;3; 1 , B 4;1; 2 , C 1;0;2

. Найти:

а) внутренний угол при вершине С; б) площадь треугольника АВС; в) длину высоты, опущенной из вершины С на АВ.

8.10 Даны точки

A( 1; 2;1), B(2;1; 3),C(3; 0;5)

. Подобрать

точку

так,

параллелограммом.

чтобы четырехугольник

ABCD

был

8.11 Найти

(


m 2n ,

если


			3b ,
m 2a	b , n	a

| a |

| b |

2; (a ,b )

8.12

Даны

вершины

четырехугольника

A(1; 2; 2), B(1; 4;0) ,

C( 4;1;1)

и D( 5;

Уи BD

5; 3) .

Доказать,

что его диагонали AC

взаимно перпендикулярны.

8.13

Вычислить

внутренние углы

треугольника

АВС,

если

A(1; 2;1), B(3; 1;7), C(7; 4; 2) .

Убедиться,

что

этот

треугольник

равнобедренный.

8.14

Вычислить

проекцию

вектора

на

ось

2 j

вектора b

2k .

8.15

3; 4;2 ,

1;1;4 . Найти

Даны векторы a 1; 3;4 , b

прb c a .

F 2; 1; 4 ,

8.16

Какую работу пр изв дит сила

когда точка

ее

приложения,

двигаясь

прям линейно, перемещается из точки

A 1; 2;3 в точку

5; 6;1 ?

Домашние задания

8.17

Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного

b( 1;1; 4) , и косинус угла между его

на вект рах a(3; 5;8) и

диагоналями.

три

вектора

a( 2;1;1) , b(1;5; 0)

c(4; 4; 2) .

8.18пДаны

Вычислить пр

(3a 2b) .

8.19

При

каком

значении

векторы

3 j 2k и

b i 2 j

взаимно перпендикулярны?

8.20

Векторы

b образуют

угол

Зная,

что

	\|
\| a

	\|
3 , \| b

вычислить угол между векторами


			b
	p a

b .

8.21

Найти

координаты

вектора

коллинеарного

вектору

(2; 1; 1)

, при условии что (a , b) 3 .

A 1;0;2 , B 2;3; 4 , C 2;3;4 .

8.22

Даны

точки

Найдите

координаты вектора AD , если известно,

что точка D делит отрезок

BC в отношении 3.

8.23

Найдите

направляющие

косинусы вектора

AB , если

A 3;4; 5 , B 1;8; 3 .

8.24

Найдите вектор b ,

ортогональный вектору a

2 j

2 .

и удовлетворяющий условиям b,i

3; b, j

Ответы: 8.1 1) a

; 2) a

; 3) a

b ; 4)

b ;

0 .

5) a

0; b

8.2 1)

; 0 ; 2) 6; 4; 12 ; 3)

0; 1; 12 .

8.3 Векторы прот воположноонаправленные, вектор b

длиннее век-

тора a

в 3 ра а.

8.4 1) 5 ; 2)

и10;

8.5

cos

о;

cos

;

cos

8.6

14 .

AD 1;4; 2 ;

8.7 1)

;

2) O

8.9 а)

arccos

; б)

170

; в)

170

. 8.10 D 0; 1; 9 . 8.11 – 42.

494

8.13

cos

A	12
A	;
	49

cos B	122	;	cos C	122
cos B		;	cos C
	14			14

. 8.14 2 .

8.15

8.16

20.

8.17

| 6

cos

| a

b | 14

6 .

arccos

8.18

пр

(3a

2b) 11. 8.19

8.20

8.21 b 1;

;

. 8.22 AD 3;3;0 .

8.23 cos

; cos

. 8.24

b 3;2;7 .

Занятие 9.

Векторное и смешанное произведения векторов

Аудиторные задан я

тогональныи.

9.1

Векторы

и b

Зная,

что

| a | 3, | b | 4 ,

вычислить: 1)

| [a , b] | ; 2)

| [a

b , a

b] | ; 3)

| [ (3a

b), (a

b) ] | .

9.2

Даны векторы

(1; 2;

1) . Найти координаты

a (3; 1; 2),b

векторных произведен й:о

b] .

1) [a , b]; 2) [2a

b , b]; 3) [2a

b , 2a

икакой-либо

9.3

Найдите

ненулевой

вектор

перпендикулярный векторам a

1;2;3 и b 0;2;5 .

образованного векторами a 6 j k

9.4

Вычислите синус угла,

и b

3 j .

9.5

Даны

вершины

треугольника

A(1; 1; 2), B(5; 6; 2) ,

C(1; 3; 1) .

Вычислить

площадь

треугольника и длину высоты,

опущенной из вершины B на сторону AC .

9.6

Докажите справедливость тождества

a b, a

2 a,b

и выясните его геометрический смысл.

9.7 Даны Найдите: 1)

	векторы
			; 2)
a,b		, c

a a,

2i
c


j	k ; b	i	j	3k , c	j	k .
.

9.8

Известно,

что

0 .

Докажите,

что

b c

c, a

a,b

b,c .

3;4;2

C 2;1; 2 .

9.9

Сила

приложена

точке

Определите величину и направляющие косинусы момента силы

относительно начала координат.

9.10

Выясните, компланарны ли векторы:

а)

0;1;1

1;0;0 ;

б)

, b

1;1;1 , c

a 4; 2;0 ,

b 3;6;3 ,

1;4; 5

A(1; 2;Н1), B(0; 1; 5) ,

9.11

Доказать,

что

четыре точки

C( 1; 2; 1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

9.12

Даны

вершины

тетраэдра:

A(2; 3; 1), B(4; 1;

2),C(6; 3; 7),

D( 5; 4; 8) . Найти объем тетраэдра

дл ну высоты, опущенной

из вершины D .

9.13

Выясните ориентацию т

векторов:

ойки

1) a

i j

2k ; b 3i

4 j

k , c 2i 3 j k ;

2) a

j 2k ; b 3i

2k , c

2i j k .

9.14

построенного на

Найти дл ну высо ы параллелепипеда,

векторах

j k ,

если за основание

5 j k , b

2k , c

взят параллел грамм, построенный на векторах a и b .

Домашние задания

(2; 3;1)

9.15

Найти вектор c

ортогональный векторам

(1; 2;3)

и удовлетворяющий условию (c, i

2 j

7k ) 10 .

е9.16

Вычислить

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

a (0; 1;1) и b (1; 1; 1) .

Вычислить синус угла, образованного векторами a (2; 2;1)

9.17

и b (2; 3; 6) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.84 Mб217математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx