Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_практикум_Ч1

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

	3

	2x 7

4 x

;

ln	3	8x 4	x	2
	3		x

 

;

1arccos

;

x x

10) y arctg

; 11)

;

12)

18.13 Составьте

уравнения касательной

нормали

к графику

1 x2

в точке с абсциссой x

функции y e

18.14 Вычислите значения производных заданных функцийУпри

указанных значениях независимой переменной:

1) f x

x2 5

14x

; f 2 ?

2x 1

f x

sin 9x; f

f x

sin 6x

cos 3x; f

tg x

4) f x

x; f

?р

f x ln

2x2

; f 2 ?

f x arccos

1 2x

2x 4x

; f

пf x arctg x

; f 0 ?

РОтветы: 18.3 x

1 x

18.4 x ; 4 3; .

						2
18.5 1)	f		; 2)	f			; 3)	f		5	4)	f		1	;
18.5 1)	f	1 7	; 2)	f	3		; 3)	f		5	4)	f		1	;
						3			3				2

	f					1			3													f					ln 3							1
5)									; 6)																				; 8)							;
5)			1						; 6)				f 0 2 ; 7)										2						; 8)	f		2				;
						2			8																		18							18
	f 0 5 ;								10) f 1						7																		У49
9)																		; 11)			f			2 .							Т2
9)																		; 11)			f			2 .
															12
															12								2						Н
				y 2x 3; x 2y 11 0 .																			y 3x						Н
18.6																				18.7									. 18.8			K				.
18.6																				18.7									. 18.8			K				.
																									Б
18.9 v 24 R2, s 48 R . 18.10																					I		2 3e 3t . 18.11							45 рад/с.
18.13					2x y 3 0; x 2y 1 0 .																		18.14				1)			f 2					8	;
18.13					2x y 3 0; x 2y 1 0 .																		18.14				1)			f 2						;
																				и														9
																				и
							9 125 2																й6 ; 4)										4 1
		f																р
2)		f											;		3)			f											f							;
									15 2																									3
									15 2												3									4				3
								2 1						о
						3		2 1							1
5) f 2											т												f 0 1.
5) f 2										; 6)				f				0 ; 7)					f 0 1.
						4		2 1							2
									и
								з									Занятие 19.
					о
		Производная функц и. Логарифмическая производная
		п										Аудиторные задания
												Аудиторные задания
	19.1 Найдите производные функций:
1)						y			x 2			x 3					x sh x ;										2)				y logx e ;
Р
3)еy									1			;		4)				y log					lnn mx ;				5)		y e 2x ch 5x ;
																						2
					cosn m 1 x


6)	y arcctg th x ; 7)												y			ctg 4x			; 8)				y 5sh			1		.
6)	y arcctg th x ; 7)												y						; 8)				y 5sh					.
																cth 3x											x
																		61

19.2 Используя

предварительно

логарифмирование,

найти

производные функций:

x 3

2x 1

7 12x

;

4x 1

2 3x

y 2x sinx / 3 ;

y arcsin 3x

x ;

y tg8x x9

;

1 arcsin5x

5/ x

y x

;

y log2Уx ;

y cos

y arctg 2x 1 4x x ; 10)

y th6x e .

Домашние задания

19.3 Найдите производные функций:

cos x

tg6x

y a

cos x ;

;

y x

;

y arcsinй

ch x

ln3x

x x

3x 1 4 5 2 x

y acctg 2x

;

y x

;

5 3 x 4 x4 / 3

xт

1/ x

y x

;

y x

;

10)

y log x з7 .

19.4 Вычислите значения производных заданных функций при

указанных значениях независимой переменной:

cos x

f x 3x x

; f 1 ?

f x

; f 1 ?

f x cos x 1/ x ; f 2 ?

f x xln3x ; f 1 ?

f x sin x tg2x ; f

? 6)

f x arcsin x 2x ;

x 1

2 / x

x 2

f x x 1

;

8) y

; f

2 ?

1 ?

5x 1

9) y

;

0 ?

7x 5

Ответы:

19.4

f 1 12ln 3 3 ;

f 1 2cos1

;

f 2 0 ;

f 1 ln 3 ;

;

Т2

ln 6

2 3

2 1

;

ln 3 ;

8) f 1

; 9) f 0

625

Занятиеи20.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

и неявно. Дифференциал функции

Аудиоорные задания

20.1 Найти про

водные функций, заданных параметрически:

t 2

x t2 2, y

1 t3

2) x

, y

;

t 1

3) x a( sin ) , y a(1 cos ) ; 4)

x ln t, y t2

x arccos

t , y

t t 2 ;

6) x arctgt, y ln(1 t 2 ) ;

x a cos3 t, y a sin3 t ;

8) x tgt, y sin 2t 2 cos2t .

20.2 Найти y

в указанных точках:

3at

3at2

x et

cost, y et

sin t; t

, y

; t 2 .

t 2

1 t 2

20.3 Найти производные функций, заданных неявно:

1) ex 2x2 y2 e y 0 ;

2) 2y ln y x ;

x y arcsin x arcsin y ;

x y

;

arctgy y x

;

sin(xy) cos(xy) 0 ;

7) x2 / 3 y2 / 3

a2 / 3 ;

ex sin y e y cos x 0 .

20.4 Найти y

в точке x 1 , если

x3 2x2 y2

5x y 5 0, y(1)

20.5 Найти y

в точке (0,1) , если e y

xy e .

20.6 Найти дифференциалы функций:

y x tg3 x ;

arctgx (arcsin x)2 ;

4 x2 ) ;

y ln(x

y x2

20.7 Найти

приближенное

значение функции

Нx2

при

y(x) e

x 1, 2 .

20.8 Вычислить приближенно:

1) arcsin 0,05;

2) ln1,2 ;

4 17 ;

4) tg44 56 .

Д машние задания

t т

20.9 Найти y

t 1

, y

;

x et sin t, y et cost .

з2

20.10 Убедиться в том, что функция, заданная параметрически

ln t , y

3 2 ln t

уравнениями

удовлетворяет соотношению

yy 2x( y )2 1.

20.11 Найти производные от функций, заданных неявно:

x3 y3 3axy

0 ;

sin(xy) cos(xy) tg(x y) .

20.12 Убедиться в том, что функция у, определенная уравнением

xy ln y 1, удовлетворяет соотношению

y2 (xy 1) y 0 .

20.13 Найти дифференциалы функций:

y x arcsin x 1 x2 3 ;

e y x y .

20.14 Вычислить приближенно: 1)

sin 29

;

(2,037)	2	3

(2,037)	2	5

20.15

диуса R

На сколько приблизительно изменится площадь круга ра-3 см , если радиус увеличится на 0,1 см?

Ответы:				20.1				1)				t	;				2)							2t					;	3)					sin					ctg								; 4)			2t 2			;
																							t 1											1 cos											Т
												2											t 1											1 cos										2					У
																																										Н
5) 2t 1; 6) 2t ; 7) tgt ; 8)																					2 cos 2t 2sin 2t cos2 t .
			1			3 1 2 ;													4															e	x	4xy			2										1
20.2	1)		1										2)						4			.		20.3						1)				e		4xy					; 2)								1					;
20.2	1)		2										2)									.		20.3						1)			e y 4x2 y								; 2)					2 ln y 1								;
			2																	3													e y 4x2 y													2 ln y 1
																																й					Б2x 1 y
		1 x			2							y			2											x					x y													2
		1 x				1 1						y													2	x				2	x y													2								y
3)																		; 4)							2					2					; 5)												; 6)					y	;
					2										2													и															2
		1 y						1 1				x												2						2												y										x
																							р
7) 3		y	; 8)				e y sin x ex sin y																			.
7) 3		x	; 8)				e y cos x ex cos y																			.
		x					e y cos x ex cos y
		4									и							о1																			2											3x
																e .
20.4				.				20.5																			20.6.
20.4				.				20.5																			20.6.								1) tg x tgx																dx ;
		3											т																																cos2 x
		1									1						2 arcsin x																			dx													2xdx
2)																											dx ;3)													;					4)									.
	п					з2												1 x						2											4 x			2												4	1
	2	arctgx				з2																		2														2											5 y	4
	2	arctgx							1 x																																								5 y
е				о																																						1 tgt
20.7 1,2. 20.8 1) 0,05; 3) 0,2; 4) 2,02. 20.9 1) –1; 2)																																														.
20.7 1,2. 20.8 1) 0,05; 3) 0,2; 4) 2,02. 20.9 1) –1; 2)																																										1 tgt				.
Р			ay x2																					2)					y cos2 (x y)(cos(xy) sin(xy)) 1
20.11 1)										;														2)																														.
			y2 ax																										x cos2 (x y)(cos(xy) sin(xy)) 1
20.13 1) arcsin xdx; 2)																	dx				. 20.14										1) 0,485; 2) 0,355. 20.15 0,6 .

														e y 1
																										65

Занятие 21.

Производные и дифференциалы высших порядков

Аудиторные задания

21.1 Найти производные 2-го порядка от следующих функций:

y cos2 x ;

y arctgx2 ;

y log2

1 x2 ;

1 x2

1 x2 x arcsin x ;

y 1 x2

arctg x ;

y e

x .

21.2 Показать,

что функция

y c e2x c e3x при любых посто-

янных c1

и c2 удовлетворяет уравнению

6y 0 .

21.3 Найти производные 2-го порядка от функций, заданных не-

явно:

y 1 xey ;

2) x3 y3 3xy ;

3) arctgy y x ;

y x ln y ;

x y ex y ;

y sin x y .

x t 2 2, y 1 t3 1 ;

го 2) x arcsint, y

1 t2

;

21.4 Найти производные 2-

п ядка от функций, заданных па-

раметрически:

x a cos2 t, y a sin 2 t ;

4) x

ln t, y t2

;

6) x 1 e

, y t e

x a sin , y

a 1 cos

21.5 Найти дифференциалы

1, 2

3-го

порядков

функции

y (2x о3) .

21.6 Найти дифференциалы 2-го порядка функций:

y e

;

2) xy y

1 .

21.7 Найти дифференциал 3-го порядка функции y ln x . x

21.8 Найти приближенное значение 5 31 с точностью до двух знаков после запятой.

Домашние задания

21.9 Найти производные второго порядка следующих функций:

y	1 x	2	arcsin x ;	2)		1 x	2	;
y	1 x		arcsin x ;	2)	y ln x	1 x		;

x sin 3x

cos 3x ;

1 x3

21.10

Найти y(n) (x) , если y e x .

21.11

Найти

, если:

1) ex y xy ;

2) x

, y tgt ;

cost

x2 y2 xy 4 0 ;

x arctgБt, y ln 1 t2 .

21.12

Вычислить значение про зводной второго порядка функ-

ции y,

заданной

уравнением

xy x y 4 ,

точке

M (1;1) .

что

y e4x 2e x

21.13

Доказать,

функция

удовлетворяет

при

уравнению y 13y

12y 0 . Записать для этой функции d 3 y .

21.14

Вычисл ть

приближенное

значение

функции

y 3 x2

5x 12

x 1,3

с точностью до двух знаков после

запятой.

2cos 2x ; 2)

2 6x4

;

x2 1

;

Отв ты: 21.1 1)

1 x4 2

3ln 2

x2 1 2

x 1

1 x2 ;

2 arctg x ;

1 x2

21.3 1)

3 y e2 y2 y 3

; 2)

2xy
y		x
	2		3
	2

; 3)

2 1
y	5

y	2
	2

; 4)

		y
		y 1
		y 1
		3

;

		4 x y																		y																		t	2	1
		4 x y																		y																		t		1									1 t			2
5)											; 6)																				. 21.4 1)													; 2)								2			;
5)											; 6)																				. 21.4 1)													; 2)											;
	x y 1															1 cos x y																							4t										У
								3																			3														3
																											1																				Т
																																															Т
3)		0;			4)						4t2 ;					5)																			;			6)						2e 3 t					e 2 t .
																						a 1 cos 2																				Н
21.5 6 2x 3 2 dx; 24 2x 3 dx2; 48dx3 .																																										Н
21.5 6 2x 3 2 dx; 24 2x 3 dx2; 48dx3 .																																					Б
						x			2		4x			2	2 dx				2											2dx2							Б									2 ln x			3					3
21.6		1)			e	x								2					2	;	2)															.		21.7												dx				3	.
21.6		1)			e															;	2)							x 2 y 3								.		21.7										x3		dx					.
															arcsin x x									1 x2							й								x
21.8 1,99. 21.9 1)																													;		2)															;	3) x sin 3x ;
																		(1 x			2		)		3		и										(1 x					2	)	3
	6x 2x				1													(1 x					)														(1 x						)
	6x 2x		3		1													о24																				y((x 1)									2	( y 1)			2		)
4)		x3 1 3								.		21.10					( 1)n e x									.	21.11						1)																						;
		x3 1 3													т						р																						x2 ( y 1)3
2)	ctg3 t ;										3)				т						3 ;						4)						2 1 t2 .											21.12					–					1.
								з								x		2 y
				о
21.13		64e		4x						2e			иx 3												1,93.
21.13		64e								2e					dx . 21.14										1,93.
		п
е																				Занятие 22.
Р														Правило Лопиталя-Бернулли
Р																Аудиторные задания
																Аудиторные задания
	22.1 Применяя правило Лопиталя-Бернулли, найти пределы:
		lim		sin 2x sin 3x																						lim				x3									lim						ex e x 2x
1)																	;			2)												;		3)																					;
1)																	;			2)												;		3)																					;
		x 0					arcsin x																			x 3x													x	0							x sin x
																										68

lim

x3 4x2

5x 2

lim

2ln x x

;

x 1 x3 5x2

7x 3

x 0

x2 2 cos x 2

x 1

ln x

ln x a cos x

x 1

lim

ln e

;

lim

;

x a 0

x 1 x

4x 2

lim

2arctgx

;

10)

lim

ln x

; 11)

lim

tg x x

;

e3/ x 1

x 0 1 2ln sin x

x 0

x sin x

ctg x

1/ x2

12)

lim

;

13)

lim x sin

;

14)

lim x

;

x 0 ln 2x

x Т0

lim

15)

lim

;

16)

ctg x

;

17)

lim x tg

;

x 1 x

ln x

x 0

18)

lim

;

19)

lim sin x 1 tg

;

йx 1

x / 2 ctg x

2 cos x

lim xsin x ;

20)

lim

;

21)

x 0

1 x

ln 1 x

ln x

lim x 10

x 1/ x

22)

lim x

3/ 1 ln x

;

23)

24)

1/ x

;

lim cos 2x

;

x 0

1/иx

x 0

lim ctg x 1/ ln x ;

lim tg x 2x ;

25)

lim ex x

;

26)

27)

x 0

x / 2

о1 x

tg x

cos x

28)

lim

; 29)

lim arcsin x

; 30)

lim

2x .

x 0

x / 2

Домашние задания

22.2 Вычислить пределы:

lim

x 2 ln x

lim

ln sin 5x

;

x 0

x sin x

x 0 ln sin 2x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.84 Mб217математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx