Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_практикум_Ч1

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

17)

4x	2	5x 9

lim	2
x 1 2x		3x 5

; 18)

lim	x 8 3
lim
x 1	x 1

; 19) lim	3x 4 4	;

x 4	x 2

x 7

1 2 3 ... n

20)

lim

;

21)

lim

;

x 2 1

3 x

n 2

22)

lim

x 2

x ;

23)

2n 1

lim

7n 3 ;

1У1

3/ 2

24)

lim x

1 ;

25)

lim

;

16Тx 4

x 0

26)

lim

x 1

; 27)

lim

sin x cos x

;

28)

lim

n sin n

;

x 1

n 1

cos 2x

29)

lim

;

30)

lim

x 1

;

31)

lim

;

x 1 x2 7x 6

x 1

x2 1

n 3n 5n

32) lim

Домашние

1 x3

x 1 1 x

задания

15.5 Найти пределытуказанных последовательностей функций:

lim

4x2 3x3

lim

7x2 10x 20

;

7x 10

10x 1

lim

n 2 ! n 1 !

;

lim

5n 3

;

n 1

n 3 !

lim

1 2 3 ... n ;

lim

3x2 10x 8

;

n n2

x 4

16 x2

lim

x3 x2 x 1

lim

x2 25

lim

4 2

; 8)

;

x2 4x 3

x2 9 3

x 1

x 1 2

10)

3	1	x
lim	1	x
lim
x 0		x
		x

;

11)

lim x		x2 5

x

	x	2

;

									1							3																			x	2	x 6
									1							3																			x		x 6
12)				lim																		;			13)									lim						;
12)				lim															2			;			13)									lim						;

				x 2			2 x								8 x																		x 3		7		3x 4
							2 x								8 x																				7		3x 4
											x	3														3x 17								2x 12					У
												3
14)	lim x																; 15) lim																					.
14)	lim x																; 15) lim																					.
	x					x	2	3x														x 5					x	2	8x 15
						x		3x							2												x		8x 15
																																		Н
																											1								Т					5
																														Б1										5
Ответы:				15.1 1)							;1 5; ; 2)																	;1			; 3) 5; 0;									;
																											3
																										й
4) ; . 15.2 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) ни четная,
																							и										; 4) ; 5) 0; 6)
ни нечетная; 4) нечетная. 15.4																					1) 1; 2) 0; 3)										3		; 4) ; 5) 0; 6)								;
																					р										3									3

																																		; 15) 2 ; 16)						5 ;
7) 0; 8) ; 9) 0;																о
7) 0; 8) ; 9) 0;							10) 3; 11) 0; 12) 0; 13) – 3; 14) 1
														т																	6					5				2
17) 13 ; 18) 1														т											1 ; 22) 0; 23) 5 ; 24) 1; 25) 3;
										и
							; 19)						3		; 20) 1 ; 21)
	7				6								2						3						6								2
						з
	2					з															3 ; 30)					2 ; 31) – 1; 32) – 1.
26)				о							; 28) 0; 29)
26)		; 27)					1				; 28) 0; 29)
	3						2														5				2
15.5		1) 3; 2) 0;									3) 0;				4)			1		; 5)			1	;	6)			7		;		7) – 1; 8) 40; 9)								3	;
Р	п1																5						2					4												2
Р	п1																40												2
10)			; 11) 2;				12) ; 13)														; 14) 3; 15)											.
10)			; 11) 2;				12) ; 13)														; 14) 3; 15)											.
е3																	3											8

Занятие 16.

Первый и второй замечательные пределы

Аудиторные задания

16.1 Вычислить,

воспользовавшись

первым

замечательным

пределом:

lim

sin 5x

;

lim

; 3)

lim

tg7x

; 4)

lim

;

x 0

x 0 sin 3x

x 0 sin 2x

x 0

3arcsin 2x

lim

arctg 5x

;

lim

1 cos x

;

lim

1 cos 6x

;

x 0

x sin 3x

sin2 3x

cos x cos 3x

Нtg x sin x

lim

; 9)

; 10)

;

x 0 tg2 5x cos 2x

x 0

tg x 1

sin 3x

7x 6

11)

lim

;

12)

lim

;

13)

lim

;

x 0

x 4

x 1 sin 2 x 1

x 1 x2

4x 5

14)

lim

2 sin 3x

sin 3x

;

15)

lim

sin x cos x

;

x 0

5 tg2x

cos 2x

lim

2тcos x

lim

cos 2x cos3 2x

16)

;

17)

;

и4x

x 0

4x tg3x

18)

оlim x sin

;

19)

lim

ctg x

;

x 0 sin x

3x arctg 5x

20)

lim

; 21)

lim

tg x .

x 0 cos x cos 4x

16.2 Используя второй замечательный предел, найти:

lim 1 x 0

2x 1/ x

;


lim 1

x

2


2x 1

2x 3

; 3)

lim x

x x



6 5

 

x 2

;

2x 1

1/ x

;

3 / x

;

7x 3

;

lim

lim 1 7x

lim

9x 3

x 0

lim

2x 1 x

;

lim 2x 1 ln 3x 1 ln 3x 2 ;

x 6x 3

1 x3

6 x

lim

; 10)

lim

;

7 x

x 1 x

limН1 sin x cosecx ;

11)

lim ((x 4)(ln(2 3x) ln(5 3x))) ;

12)

x 0

2x 1

lim 1 3tg2

x ctg

x ;

13)

lim

;

14)

йx 0

x x 4x

1 x / x

ln 1 7x

2x / x 1

15) lim 1 4x

;

16) lim

; 17)

lim 2x 1

x 0

x 1

x 0

16.3 Вычислить пределы:

lim (cosx)1/ x

lim

1/ 2x

lim (1 x x2 )1/ sinx ;

;

tg2

; 3)

x 0

ln(1 x)

lim

; 5)

lim

; 6)

lim

; 7)

lim

x 0

sin x

Домашние задания

16.4 Найти пределы следующих функций:

е sin 8x

1 cos 4x

cos3x cos x

lim

;

lim

;

3) lim

;

x 0 2arctg3x

0 3sin x tg3x

x 0

1 x2

lim			x sin	4x
	1 tg	2	2x	1 tg	2	2x
x 0

;5)

	1 cos			3	x
lim
		2
x 0	x		sin x

;

sin x

lim

;

lim

;

lim

;

tg 2x 1

1 2 cos x

x 2

1 3x 1/ x

lim

;

10)

lim x ln 2

x ln x ;

x 0 1 2x

11)

lim 4 3x 5x2 / 1 x ; 12)

lim cos 2x 1/ sin2 x ;

13)

lim

23x 1

;

x 1

x 0

14) lim

ex e

lim

ln 1 7x

; 15)

x 1

x 0

sin x

Ответы: 16.1 1) 5; 2) 1/3; 3) 7/2;и4) 2/3; 5) 5/2; 6) 1/2; 7) 6; 8) 9/25;

9) 4; 10) 1/2; 11) 12; 12) – 5/2; 13) – 1/6; 14)

; 15)

;

16)

; 17) 1/3; 18) 0; 19) 0; 20) 2; 21) 1.

2 / 3

16.2

;

5) e

;

; 7) 0;

8) 2;

; 2)зe ; 3)

9) e 1 ; 10)

e 1 ; 11) 1; 12) e; 13) e2 ; 14) e3 ; 15)

e 4 ; 16) 7; 17) e4 .

16.3

e 1/ 2 ; 2)

e ; 3) e; 4) 2/3; 5) 2; 6) 1/ ln 3 ; 7) 2ln a .

16.4е1) 4/3; 2) 8/9; 3) – 8; 4) 1; 5) ; 6)

; 7)

; 8) e 6 ; 9)

e 1 ;

; 12) e

; 13)

3ln 2 ; 14) e; 15) 7.

10) 2; 11) e

Занятие 17.

Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва

Аудиторные задания

17.1 Вычислить пределы,

используя теорему об отношении двух

бесконечно малых функций:

arcsin

lim

cos x cos2x

;

lim

ln(1 x)

;

3) lim

1 x2

;

1 cos x

2 tg3x

ln(1 x)

x 0

e5x 1

sin 3(x 2)

tg(x 5)

;

lim

6) lim

x 0 sin10x

x 2 x2

3x 2

x 5

sin4 4x

2 1 7x

lim

;

1 ex / 3

0 arctg3 2x

x 0

17.2 Исследовать

функции

на непрерывность, установить

характер точек разрыва:

f (x) иsin(x 2)

f (x)

;

f (x) 34 x 2 ;

x 1

2x 1

| x 1 |

f (x)

;

f (x) arctg

;

6) f (x)

;

x3 x2 x 1

x 3

x 1

sin x,

x 1,

, x 1,

f (x)

;

f (x)

1 x 2,

иx 1.

x 2.

о5 1

9) f (x)

10) f (x)

;

x 1

x 2

Домашние задания

17.3 Вычислить пределы:

lim

ln(1 7x)

;

lim

esin 7 x 1

;

lim

4x2 1

;

x 0

sin 2x

x 0

x 1 arcsin(1 2x)

1 sin 3x 1

lim

;

lim

;

3x 2)

ln 1 tg2x

x 2

tg(x

x 0

arcsin

x 3

lim

x 3

arctg x

17.4 Исследовать

на

непрерывность

функции;

установить

характер точек разрыва:

, 2 Уx 2,

4 x2

tg x

Т2 x 4,

1) f (x)

f (x)

; 2) f (x)

; 3)

x 4.

2 x ,

Построить график функции;

x 0,

ex e x

cos x,

f (x)

;

f (x)

0 x ,

Построить

1, x

график функции; 6)

f (x)

1 cos x

р2 3

Ответы: 17.1

1) 3; 2)

; 3) – 1; 4)

; 5) 3; 6)

; 7) 0; 8) – 21.

17.2

x 2 – точка устрани-

– т чка разрыва 2-го рода; 2)

мого

x 2 –

точки

разрыва 2-го рода;

разрыва,

f 2 1 ;

x 1

f 1

x 1 – точка

– точка устранимого разрыва,

;

разрыва 2-го рода; 5)

x 3

– точка разрыва 1-го рода; 6) x 1 –

функция непрерывна

при x R ;

точка разрыва 1-го рода;

x 1

– точка разрыва 1-го рода; 9)

x 2 – точка разрыва 1-го

рода; 10) x 1 – точка устранимого разрыва; f 1 3 .

17.3 1) 7/2; 2) 7/3; 3) – 2; 4) 4; 5) 3/4; 6) 0. 56

17.4 1)	x 0	– точка устранимого разрыва,	f (0)	1	;
				2

x 2, x

k (k 0; 1; 2

и т.д.) – точки разрыва 2-го рода;

У4

x 0

x 4

–

точка разрыва 1-го

рода;

– точка

разрыва

1-го рода; 4)

x 0 – точка устранимого разрыва,

f (0) 2 ; 5) всюду

непрерывна;

x 0

–

точка

устранимого

разрыва,

(0)

;

x 2 – точка разрыва 2-го рода.

Занятие 18.

Производная функции, ее геометрический и физическийНсмысл

Аудиторные задания

18.1 Исходя из определения, найд те производные функций:

1) y 7x

x ; 3) y 5 tg x x .

; 2)

18.2 Найдите производные функций:

y 5x

4 ;

y x

2x 3

sin 2x ; 3)

;

x5 1

4) y

3x 7 4 ; 5) y 3

;

sin 4x cos

x ln 2x3 3x2 2 ; 7)

;

sin 3x cos x

y e

log3

;

arccos

4 x

;

10)

y ctg3

2ln sin

;

11)

y arctg x 2 ;

12)

2x 1

;

13)

y cos5
y cos5	sin

2x
		sin cos
3
3

x 4

  

;

/ ln x

14) y 2

; 15)

y arcsin

arccos

; 16)

y loga ln x .

18.3 Решите уравнение f x

f x 0 ,

если

f x x3 ln x .

Уесли

18.4 Решите

неравенство

f x x 0

f x 2x3 12x2 , x 9x2 72x .

18.5 Вычислите значения производных заданных функций при

указанных значениях независимой переменной:

1) f x

x2 3

6; f

1 ?

x 1

f x

sin

; f

3 ?

f x sin 8x cos 4x; f

2cos x

4) f x

т; f

1 sin x

arctg x

f x

; f 1 ?

f x 4e

arcsin

; f 0 ?

; f

2 ?

7) f x 3

Р8) f x ln

; f 2 ?

1 4x

9) f x 5 x2 x cos2 x; f 0 ?

10)

f x

;

f 1 ?

f x

2x 4

11)

;

sin

18.6 Составить

уравнения

касательной

нормали

графику

функции y x2 4

в точке M 1;5 .

18.7 Составить

уравнения

касательной

нормали

графику

функции y tg x в точке с абсциссой

18.8 Тело

массой

движется

прямолинейно

по

закону

y t

t 4 .

Определите кинетическую энергию тела в момент

времени t 3 .

оводника

18.9 Радиус

шара

изменяется со

скоростью

6 см/с.

какой

скоростью изменяются объем и поверхность шара?

18.10 Найдите силу тока в п

ке,

если заряд, проходящий

через

поперечное

сечение

изменяется

по

закону

q 2t e 3t (кл).

т3

18.11 Материальная

чка

движется

по окружности

так, что

угловое

перемещен е

изменяется

по

закону

6,5

7t 3,5t

(рад). Найдите угловую скорость

движения материальнойиточки к моменту времени t 2c от начала

движения.

Домашние задания

18.12 Найдите производные функций:

1)еy 5e2x

x ;

cos 3x

;

y x2 arcsin 8x ;

x3 ctg 2x

y 3arcsinx / 2 ;

4) y

;

y 5log2 sin

;

x 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.84 Mб217математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx