Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_практикум_Ч1

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

3x	3	x 1

lim			x
x	e

;5)

lim x 0

x arctg x
x	3

;6)

2	x	3	x
2		3
lim	1 x
x 0 x	1 x
			2

;

sin x

lim

;

lim

;

x 0

arctg x

lim

;

10)

11)

lim x ctg x ;

x 0

x 1

x 0

2x tg x

ln x

1 tg x

lim ln x ln x 1 ;

1/ x

lim ln x

12)

13)

;

14)

lim

;

x 1

sin x x2

lim x

ln(e 1)

15)

; 16) lim

x 0

ln 2 1; 7)

cos a ;

Ответы: 22.1 1) – 1; 2) 0; 3) 2; 4) 1/2; 5) 12; 6)

8) 5; 9) 2/3; 10) 1/2; 11) 2; 12)

;

13) 3; 14) + ; 15) 1/2; 16) 0; 17) 2;

18) – 1; 19) 2 / ;

20)

; 21) 1; 22) e3 ; 23) 10; 24)

e 2 ; 25) e2 ;

26) e

; 27) 1; 28) 1; 29) 1; 30) 1. 22.2

1) 1;

2) 6;

3) 1;

4) 0;

5) 1/3;

6) ln 2 ; 7) – 4; 8) 0; 9) 1/6; 10) 1/2; 11) 1/ ; 12) 0; 13) 1; 14) 1; 15) e;

16)

e 1/ 6 .

Занятие 23.

Формула Тейлора

Аудиторные задания

23.1 Разложить

многочлен

x4 2x2 13x 9

по

степеням

двучлена x 2 .

23.2 Разложить

многочлен

x3 3x2 2x 4

по

степеням

двучлена x 1.

23.3 Для многочлена

x 3

написать формулу Тейлора

2-го порядка в точке

1 . Записать остаточный член в форме

Лагранжа.

23.4 Написать

формулу

Тейлора

3-го

порядка

для

функции

f x 10

в точке

0 .

23.5 Написать

формулу

Тейлора

3-го

порядка для

функции

f x

в точке x0

2 .

Нx

x 1

23.6 Написать

формулу

Тейлора

2-го

порядка для функции

f x tg x в точке x0

0 .

Б6

23.7 Вывести приближенную формулу sin x x

и оценить

0,05 .

ее точность при

23.8 Вывести

приближенные формулыйоценить их погрешность

при

1) 1 x 1

; р2) 1 x

23.9 Проверить,

ч о при вычислении значений функции ex при

0 x

иприближенной

формуле

1 x

по

грешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти e0,2

допускаемая

с тр мя в рными цифрами.

23.10 Вычислить с точностью до 10

cos10 .

е23.11 Вычислить с точностью до 10 3 : 1) 5 33 ; 2) ln1,05 .

23.12 Найти

пределы,

используя

разложение

по

формуле

РМаклорена с остаточным членом в форме Пеано:

lim

1 x

1 cos x

;

lim

;

x 0

lim

xe2x xex 2e2x 2ex

lim

ln 1 x x 1 x

;

ex 1 3

Домашние задания

23.13 Разложить многочлен

3x 4

по степеням

двучлена x 4 .

23.14 Написать

формулу

Тейлора

3-го

порядка

для функции

f x

при

x0 1 .

23.15 Написать

формулу

Тейлора

3-го

порядка

для функции

y arcsin x при x0

0 .

23.16 Написать

формулу Тейло а n-го порядка для функции

при x0 1.

23.17 Написать формулу Макл рена n-го порядка для функции

f x xex ,

x 0 .

23.18 Вычисл ть пр бл женные значения с заданной точностью

1) sin1 ,

;

e , 10

;

3) 10 1027о, 10 4 ;

4) cos 5 , 10 5 .

23.19 Найти пределы, используя формулу Тейлора с остаточным

чл ном в форме Пеано:

еsin x x

lim

1 cos x

lim

;

x2 sin x

0 ex 1 x

x sin x

lim

;

lim

1 3x 1 2x

x e

Ответы:

23.1

f x 9 11 x

2 22 x

8 x

x 2

;

23.2

f x x 1 3 5 x 1 8 ;

4 1 x 1 x 1

;

23.3

f x 7 11 x 1 10 x 1

23.4 10x 1 ln10 x

ln2 10

ln3 10

10 x ln4 10

4 , 0 1;

x 2 4

2 x 2 x 2 2

x 2 3

23.5

1 x 2 5

, 0 1;

x 1

Б3

23.6 tg x x

1 2sin3 x

, 0 1 ; 23.7 3 10 9 ;

cos4 x

23.8

5 / 2

, 0 1

;

8 / 3

, 0 1 ;

16 1 x

81 1 x

23.9

1,221;

23.10

0,9848;

23.11

2,012;

0,049;

23.12

1/2;

1/6;

–

23.13

f x 56

21 x 4

р37 x 4 2 11 x 4 3 x 4 4 ;

23.14

f x 1

x 1

1 3

x 1

1 3 5

x 1

1 3 5 7

xи1

, 0 1;

9 / 2

x 1

23.15

y x

9 x 6

, 0 1 ;

1 2 x2 7 / 2

23.16

y 1 x 1 x 1

x 1

Р n 1

x 1 n 1

, 0 1;

1 x 1 n 2

f x x x

n 1

x n 1 e

23.17

n 1 !

0 1

;

23.18

0,0175;

1,648;

2,0006;

0,99619;

23.191) – 1/6; 2) 1; 3) – 2; 4) 1/2.

Занятие 24.

Монотонность функций. Экстремум.

Наибольшее и наименьшее значения функций.

Выпуклость и вогнутость графиков функций

Аудиторные задания

убыванияНи точки

24.1 Найти

интервалы

возрастания,

экстремума функций:

1) y 15 x2 2x ;

2) y 2x3 6x2 18x 7 ;

4) y x 1

x ;

3) y 4 2x 2 x 6x

;

2x2 1

5) y

;

6) y x2e x

;

7) y

;

ln x

x 1

8) y 3 x2

;

9) y

;

10)

y ln

24.2 Найти экстремумыи

x 1

x 2

функций,

пользуясь

производной 2-го

порядка:

1) y 4xо9x 6x ;

y e

3x 2 ;

3) y

1 x2

;

2 x ;

y x2 (a x)2 ;

4) y x ln

6) y x 1 x .

24.3 Определить наибольшее и наименьшее значения функций в

указанных интервалах:

1) y x

5, [ 2;0];

y x 2

x ,

[0;4] ;

x 1

, 0; 1 ;

y arctg

1 x

, [0;1] ;

1 x

2; 1 ;

1/ e;e .

y x ln x x;

24.4 Найти интервалы выпуклости,

вогнутости и точки перегиба

графиков функций:

x 1

1) y ln 1 x ; 2) y e

; 3) y x

;

; 4) y

x 1

5) y x4 2x2 3 ;

6) y

3x4

2x2 1

;

крышкой

y x2 e x ;

9) y x 1 x2 ;

Б10) y 3

x2 2x .

24.5 Требуется изготовить ящ к с

, объем которого был

бы равен 72 см3,

стороны

причем

основания относились бы как

: 2.

Каковы должны быть

азме ы всех сторон, чтобы полная

поверхность ящика была наименьшейи?

24.6 Найти

соотношение

между

адиусом

высотой

цилиндра,

имеющего

при данн м объеме наименьшую полную

поверхность.

24.7 Найти

высо у

ц линдра наибольшего

объема,

который

можно вписать в шар рад усом R.

Домашние задания

24.8 Найти

интервалы

возрастания,

убывания

точки

экстр мума функций:

2) y

y ln x arctg x ;

;

x 1

3) y x 1 ex ;

4) y x3 6x2 16 .

		a	2
24.9 Найти экстремум функции	y x		, a

		x

вторую производную.

24.10 Найти точки перегиба графиков функций:

, используя

2x 1

4x3

;

x arctg x ; 3)

; 4) y e x

/ 2

(x 1)2

1 x3

(кривая Гаусса).

24.11 Найти наибольшее и наименьшее значения функций в

интервалах (или во всей области определения):

1 x x2

0; 1 ;

y xe

2 ;

1 x x2

y ln 4 x2 , 1;1 ;

y x

2 x , 0;4 .

24.12 Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб

для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к

днищу желоба площадь попе ечного сечен я будет наибольшей?

Ответы: 24.1

; 1

–

в з астает;

–

убывает;

ymax y 1

16 ;

о– возрастает;

; 1 3;

1;3

–

убывает;

ymin

y 3 47; ymax

y 1 13

;

1;2 3; и– возрастает;

;1 2;3

–

убывает;

ymax y 2

ymin

y 1 y 3 0 ;

;

2 ;1 – убывает;

2 ;1/ 2 – возрастает;

1; 1/ 2

ymin y 1/

1/ 2 ; ymax

y 1/

2 1/ 2 ;

; 1 0,1

–

возрастает;

1;0 1;

–

убывает;

Рy

y 1 y 1 1;

max

0;2

–

возрастает;

;0 2;

–

убывает;

ymin

y 0 0; ymax

y 2

4 / e

;

– возрастает;

0;1 1;e

– убывает;

ymin y e e ;

1; – возрастает; ;1

– убывает;

ymin y 1 1;

–

возрастает;

; 1 1;0

– убывает;

ymin

y 0 1;

2; 1

10) ; 2 1;

– возрастает;

– убывает; экстрему-

мов нет.

y 1 1; 2)

y 0 3 ;

24.2

max

; y

min

ymax y 1 1; ymin

y 1 1 ;

y e 2 4 / e2; y

min

y 1 0 ;

max

y 0 y a 0

max

; y

min

;

max

;

наим

24.3

yнаиб. y

13; yнаим.

y 1 4 ;

yнаиб.

y 4 8; yна м.

y 0 0 ;

y 0 2; y

y 1 3 2 ;

наиб.

y 0

yнаиб.

; yнаим. y 1 0 ;

y 2

; y

y 0 1;

наибп.

наим.

yнаиб.

y e 0; yнаим.

y 1 1 ;

24.4

; 1 1;

– функция выпукла; 1;1 – функция

вогнута;

1;ln 2 , 1;ln 2 – точки перегиба;

			1																											1
2)		0;					– функция выпукла;																												– функция во-
2)		0;					– функция выпукла;																		;0					;					– функция во-
					2																									2
гнута; 0;1 ,											1
															– точки перегиба;
											;1				– точки перегиба;
											2
											2																											У
3) ;0 0;																– функция вогнута; точек перегиба нет;																						У
	; 2 – функция выпукла;																																			Т
4)	; 2 – функция выпукла;																									2;1 1; – функция вогну-
						1
та;			2;						– точка перегиба;


						9																								Б
																														Б
									3								3																			3		3

5)		;																;						– функция вогнута;												;				–
																											й						Н
									3							3											й									3		3
									3							3										и										3		3
																										и
																		3		22						3	22

функция выпукла;																				;				,			;			– точки перегиба;
																		3				9				3	9
																							р

6)	;0							– функция выпукла;																	0; – функция вогнута; точек
перегиба нет;																	т
																	т
													5						5

7)						;								и							;						–			функция							вогнута;
													3						о
													3						3
										з
			5												5
					;0						0;													–				функция									выпукла;
			3												3

				п													21
			5			21									5		21
е
			;													;				– точки перегиба;

			3			25									3		25
8) ;2										2 2								2 ; – функция вогнута;																2		2 ;2			2
–																			функция																		выпукла;
				2 ; 2									2		e	2 2										2 ; 2			2	2	e	2 2				–		точки
Р2				2 ; 2								2			e					, 2						2 ; 2			2		e					–		точки

перегиба;

9) 1;0 – функция вогнута;	0;1	– функция выпукла; 0;0 – точ-
ка перегиба;
10) ;0 2; – функция выпукла;			0;2 – функция вогнута;
0;0 ; 2;0 – точки перегиба.

24.5 3,6 и 4 см; 24.6 H=2R; 24.7 H

2R 3

;

24.8 1) возрастает на всей области определения;

–

убывает;

;

– возрастает;

min

;

3) ;0 – убывает; 0;

– возрастает;

ymin y 0 1;

4) ;0 4;

0;4

–

возрастает;

–

убывает;

ymax y 0 16, ymin y 4 16

;

24.9

ymax y a 2a; ymin y a 2a ;

очек перегиба нет;

24.10

0;0 ,

;

; 2)

4) 1;e 1/ 2

1;e 1/ 2

и 1/

e ; 3) ln 4

ln 3 ;

24.11 1) 1 и 3/5; 2)

4) 8 и 0;

24.12

Занятие 25.

Асимптоты. Построение графиков функций

Аудиторные задания

Р25.1 Найти асимптоты графиков функций:

1) y

x2 4x 5

; 2)

; 3)

; 4)

ln x

;

x 2

x 1

x3 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.84 Mб217математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx