Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_практикум_Ч1

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

9.18 Установить,

	(2;3; 1),
		b (1;
a

компланарны

	(1;9; 11)
1;3),c

ли векторы


a, b, c

если

9.19 Лежат ли точки

A(5;5; 4), B(3;8; 4),C(3;5;10), D(5;8; 2)

одной плоскости?

9.20

Выяснить,

правой

или

левой

будет

тройка

векторов

a (3;4;0), b

(0; 4;1) , c(0; 2;5) .

9.21 Вычислите объем тетраэдра ABCD и длину высоты,

опущенную

из

точки

на

основание

ABC,

если

известны

координаты его вершин A 0,0,1 , B 3,2,3 , C 2, 1,3 , D 1,3,8 .

9.22

Даны

три

силы

2; 1;3 , F2

3;2; 1 , F3 Т4;1; 3 ,

C 1;4; 2 .

приложенные

точке

Определите величину и

направляющие

косинусы

момента

равнодействующей силы

относительно точки A 2;3; 1 .

Ответы:

9.1 1) 12;

24;

48. 9.2

1) (5;1,7); 2) (10; 2; 14);

3) (20; 4; 28). 9.3

c 4i

5 j

. 9.4

185

. 9.5

; 5 . 9.6 Пло-

щадь

параллелограмма,

р рнами которого

являются

диагонали

данного параллелограмма, равна удвоенной площади данного па-

раллелограмма.

9.7 1) 4i

2 j

; 2)

2 j

2k .

2и

9.9 15; cos

; cos

. 9.10 а) да; б)

нет.

154 о

9.12

;11

. 9.13 1) правая тройка; 2) левая тройка. 9.14

п3

7,5,1 .

5 17

9.15

9.16

6 .

9.17

sin

. 9.18 Компланарны.

9.19 Нет, не лежат. 9.20 Левая. 9.21

137

9.22 66; cos

; cos

Занятие 10.

Прямая на плоскости

Аудиторные задания

10.1

Написать

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A( 1; 2) ,

перпендикулярно

вектору

M1M 2 ,

если

M1(2;

7), M2 (3; 2) .

10.2 Написать каноническое и параметрические уравнения

прямой,

проходящей через точку

A(3; 2)

параллельно: 1) вектору

S (1; 5) ; 2) оси Oу .

10.3

Написать

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A( 1; 8)

и образующей с осью абсц сс угол, равный

прямой

10.4

Написать

уравнение

п ямой,

проходящей

через

точки

M1 2;1 , M2 4;5 , и найти т чки ее пе есечения с осями координат.

10.5

Составить

уравнение

проходящей

через

точку

M0 4;3 , являющуюся сн ванием перпендикуляра, опущенного из

начала координат на э у прямую.

10.6

При каком тначении A прямая

Ax 4y 13 0 образует с

ной

осью Ox угол 45 ?

A 2; 3 , B 4;5 , C 3;4 .

10.7

Даны вершины

треугольника

Найти: 1) уравнение стороны AB; 2) уравнение медианы,

проведе

из вершины C; 3) уравнение высоты, проведенной из

в ршины C.

Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе

10.8

второго координатного угла и отсекающей на оси Oy отрезок,

равный 3.

10.9

Найдите

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

A 2; 3 :

параллельно

прямой

y 2x 9 ; 2)

перпендикулярно

прямой x 3y 2 0 .

10.10

Каково взаимное расположение двух прямых,

угловые

коэффициенты которых равны – 2,5 и – 0,4?

10.11

Найдите расстояние от точки

1;2

до прямой:

x 1 t,

x 5 2t,

3t,

y 2

y 3 3t.

10.12

Какие прямые данной пары пересекаются, параллельны

или совпадают? Если прямые пересекаются, найдите координаты

точки их пересечения:

1) 2x y 1 0 и x 3y 2 0 ;

2) 2x 6y 2 и

3y 1 0 ;

x 1

y 1

x 2

y 2

3) x y 3 и 3x 3y 1 0 ;

10.13

Найти расстояние между прямыми 12x 5y 26 0

12x 5y 13 0 .

A(2;Б6)

10.14

Найти

проекцию

точки

на

прямую

3x 4y 5 0 .

Домашн е задан я

10.15

Найти

уравнение п ямой,

проходящей

через точку

x 3y 6 0 и отсекающей

пересечения прямых

3x 2y 7

0 и

на оси абсцисс отрезок, равный 3.

10.16

Найти

очку

пересечения

диагоналей

четырехугольника ABCD , если

A( 1; 3), B(3; 5), C(5; 2), D(3; 5) .

ивершины

10.17

Даны

треугольника

ABC :

A(1; 2) , B(2; 2) , C(6; 1) . Найти:

1) уравнение ст р ны AB ;

сторонеAB ;

2) уравн ние высоты CH ;

3) уравн ние медианы АМ;

4) уравн ние прямой, проходящей через вершину

C параллельно

5) расстояние от точки C до прямой AB .

Р10.18

Найти

уравнения

перпендикуляров

прямой

3x 5y 15 0 ,

проведенных

через точки

пересечения

данной

прямой с осями координат.

10.19

A( 2; 3)

Записать уравнение прямой, проходящей через	точку
и составляющей с осью Ox угол: а) 45о; б) 90о; в) 0о.

10.20

Найти

точку

B ,

симметричную

точке

A(8; 12)

относительно прямой x 2y 6 0 .

10.21 Найти один из углов между прямыми:

x 4

3t 1

1) 2x 3y 5 0 и x 3y

7 0 ;

y t 7

3t 2

Ответы: 10.1 x 9y 17 0 . 10.2 1)

x 3

y 2

x 3 t

;

x 3

y 2

x 3 . 10.3

x y 7 0 .

2x y 3 0; 0; 3 , 1,5;0 .

3y 25 0 . 10.6

10.4

10.5

–4.

10.7

4x y 11 0 ;

2) x 2y 5 0 ;

x 4y 13 0 .

10.8

y x 3 .

10.9 1) 2x y 7 0 ;

2) 3x y 9 0 .

10.10 Пе-

;

ресекаются. 10.11 1) 0; 2)

10.12 1)

; 2) совпадают;

3) параллельны;

4) о9; 5 . 10.13 3. 10.14

1, 2 . 10.15

x 3.

т x 1

y 2

x 4y 2 0 ;

10.16

O(3;1/ 3)

10.17

;

5x 6y 17 0 ;

4x y 25 0 ;

10.18

5x 3y 25 0, 5x 3y 9 0 .

10.19 1)

x y 5 0 ;

x 2 0 ; 3)

y 3 0 . 10.20

B(12; 4) .

10.21 1) arccos

;

130

60 .

Занятие 11. Плоскость

Аудиторные задания

11.1 Даны точки

M	3; 1;2
1

иM2 4; 2; 1 . Составьте

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

перпендикулярно вектору M1M 2 .

11.2

Составьте

уравнение плоскости, проходящей

через

три

точки:

1) M1 3; 1;2 , M2 4; 1; 1

и M3 2;0;2 ; 2) M1 1;3;4 , M2 3;0;2

и M3 2;5;7 .

11.3

Укажите

особенности

расположении относительно

системы

координат

Oxyz

плоскости,

заданной

уравнением:

3y 2z 1 0

;

2x y 5z 0 ; Б3)

2x y 1 0 ;

4) 2x y 0 ;

x z 0 ;

2x 3 0 ;

3y 4z 0 ; 7)

8) z 4 0 ; 9) y

0 .

орам

11.4

Найдите длины от езков,

отсекаемых на осях координат

плоскостью 3x 2y z 6 0 .

11.5

Составьте уравнение пл скости,

проходящей через точку

M 1; 1;0 параллельно век

: 1) a

0;2;3 и b

1;4;2 ; 2)

s1 2; 1;3

и s2

3;0;1 .

проходящей через точку

11.7

Составьте

уравнение плоскости,

11.6

Составьте уравнение плоскости,

проходящей через точку

1; 3; 2

параллельно: 1) плоскости

3x 2y 4z 3 0 ;

плоскости Oyz.

плоскостям x 2y z 5 0

M (1; 0; 2)

ерпендикулярно к

2x y 3z 1 0 .

11.8 Найдите угол между плоскостями:

1) x 4y z 1 0 и x y z 3 0 ; 2) x 2y z 5 0 и 2x y z 3 0 .

11.9 Дана пирамида с вершинами A 2;2; 3 , B 3;1;1 , C 1;0;5 ,

D 4; 2; 3

. Найдите длину высоты, опущенной из вершины D на

грань ABC.

11.10 Установите, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

x y 3z 1 0 и 2x y 5z 2 0 ;

3x 2y z 2 0 и

6x 4y 2z 1 0

;

3) 2x 6y 2z 4 0 и 3x 9y 3z 6 0 .

11.11 Найдите

расстояние

между

плоскостями

2x 3y 6z 21 0 и 4x 6y 12z 35 0 .

Домашние задания

11.12 Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку

М перпендикулярно к вектору n ,

M (3;5; 1); n 13;2;1 ;

если: 1)

M ( 1;2;3) , параллельно

плоскости, проходящей

через

точки

M (2;0;0); n 0;7;0 ;

M (0;3; 1)

;

M1M 2 ,

где

M1(1; 1;0), M2 (3;0;2) .

11.13 Составьте уравнение

, проходящей через точку

M (1;0; 2), M

плоскости

плоскость

11.14 Определите, при как м значении параметра

x (2 1) y z 5 0 :

1) параллельна

2x 3y z 4 0 ;

y z 7 0 ;

2) параллельна

3) перпендикулярназ к плоскости 3x y z 0 ;

ендикулярна к плоскости Oxz.

ер

11.15 Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки

M1(1;2;3)пи

M2 (2;1;1)

перпендикулярно

плоскости

3x 4y z 6 0 .

11.16 Найдите

расстояние

от точки M (2;1;1) до плоскости

Рx y z 1 0 .

11.17 Найдите

точку

пересечения

плоскостей

x y z 6 0, 2x y z 3 0 ,

x 2y z 2 0 .

Ответы: 11.1 x y 3z 2 0 . 11.2 1)

3x 3y z 8 0 ;

8y 7z 1

. 11.3 1) параллельно оси Ox; 2) проходит че-

рез начало координат; 3) параллельна оси Oz; 4) проходит через ось Oz; 5) проходит через ось Oy; 6) проходит через ось Ox; 7) параллельна плоскости Oyz; 8) параллельна плоскости Oxy; 9) совпадает с

плоскостью

Oxz.

11.4

11.5

8x 3y 2z 5 0 ;

x 7 y 3z 8 0 .

11.6

1) 3x 2y 4z 1 0 ;

x 1.

6 .

11.7

5x y 3z 11 0 . 11.8

arccos

11.9 1) пересекаютсяУ;

параллельны;

совпадают.

11.10

h 5 .

11.11

5,5.

11.12

1) 13x 2y z 48 0 ;

y 0 ;

3) 2x y 2z 1 0 .

11.13

x 3y 2z 1 0

. 11.14

;

0 ; 3) 0,4 ;

4) 0,5 . 11.15

x y z 2

0 . 11.16

.Б11.17 1;2;3 .

рные

Занят е 12.

Прямая в п ост анстве.

плоскость

Прямая и

ив пространстве

Ауди

задания

12.1

Составьте

канонические и параметрические уравнения

прямой,

проходящей через очку M0 2;0; 3

параллельно вектору

2; 3;5 .

12.2 С ставьте канонические и параметрические уравнения

прямой:

x y 2z 3 0,

2x y z 1 0,

y z 1 0;

2 y z 2 0.

е12.3 Найдите угол между прямыми

x 1

y 2

z 3

Рx 1

z 10

12.4

При

каких

значениях

прямые

x 1

y 1

z a 2 2

1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают?

12.5 Составьте уравнения сторон треугольника с вершинами в

точках A 3;2;1 ; B 1; 1;0 ; C 2;3; 5 .

12.6

Найдите

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

M 2; 5;4 параллельно прямой

x 1

y 2

z 5

12.7

Выясните взаимное расположение прямой и плоскости:

x 1

y 3

и x 3y 2z 5 0 .

12.8

Напишите канонические

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

2; 1;3

перпендикулярно

плоскости

3x y 2z 4 0 .

12.9

Найдите угол между п ямой плоскостью:

x 1

y 2

и 4x р4y 7z 1 0 ;

x 4 y 2z 7 0,

т3x y z 1 0 .

7 y 2z

12.10 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку

x 2

y 1

M (2;0; 3)

параллельно

прямым

12.11

Найдите

координаты

точки пересечения

прямой

x 1

y 2

z 2

с плоскостью 3x y 2z 5 0 .

12.12 Найдите проекцию точки A(3; 1; 4) на плоскость x y z 5 0 .

12.13 Найдите точку A, симметричную точке	P 6; 5;5	отно-
сительно плоскости 2x y z 4 0 .

A(2;3; 1)

12.14

Найдите

проекцию

точки

на

прямую

x 7

y 2

z 2

и расстояние от этой точки до данной пря-

мой.

Домашние задания

12.15

Составьте уравнения прямой, проходящей через точку

M 4; 3;2 : 1) параллельно оси Ox; 2) параллельно оси Oz; 3) пер-

пендикулярно к плоскости x 3y 2z 5 0Б; 4) перпендикулярно

к плоскости Oxz.

йx 2 y 3 0

12.16

Вычислите угол между п ямой

и плоско-

и3y

z 1 0

стью 2x 3y z 1

0 .

12.17

Найдите уравнения перпендикуляра, проведенного из

2x y 5z 3 0 ;

точки

A(3; 5;1)

наоплоскость:

2) 3x 2z

y 1 0 .

; 3)

x 2

y 3

z 4

12.18

Пересекаются

ли прямые:

y 4

z 3

x 3y 4z 7 0,

x y 3z 6 0,

; 2)

z 3

3x y 2z 5 0,

2x y

12.19 Составьте параметрические уравнения медианы тре-

угольника с вершинами

A(3;6; 7), B( 5;1; 4),C(0;2;3) ,

проведен-

ной из вершины С.

12.20

Найдите координаты

точки

Q, симметричной

точке

P( 3;1; 9)

относительно плоскости 4x 3y z 7 0 .

12.21 Найти координаты точки Q, симметричной точке

P(2; 5;7) относительно прямой, проходящей через точки

M1(5;4;6)

M	2	( 2; 17; 8)
	2

	12.22 Найдите угол между прямыми:
	x 2	y	z 1	x y 0,	y z 0,
1)				и осью Ox; 2)	и
1)				и осью Ox; 2)	и
3		4	0	x y 0,	y z 2	0.

	x 2	y	z 3	x 2 2t,	У
	x 2	y	z 3
Ответы: 12.1				; y 3t,
Ответы: 12.1				; y 3t,
2		3	5		Т
				z 3 5 t.	Т

																															Н
				x 2					y 1							z			x 2 3t,									Б
				x 2					y 1							z										й
12.2 1)																		; y 1 t,
12.2 1)																2		; y 1 t,
					3						1					2							и
																			z 2t.
																				р
		x 1				y 2						z 1					x 1					t,
		x 1				y 2						z 1
																	о
2)																;	y 2				t, .					12.3			. 12.4 1) a 3;
		1											т
		1					1					1															2
											и						z 1 t.
											и
							з								a 1;									a 1.							x 3			y 2		z 1
							з
2) a 1; a								3		; 3)											4)						12.5											;
2) a 1; a								3		; 3)											4)						12.5											;
					о																									4				3		1
																														4				3		1
	x 3			y 2			z 1							x 1					y 1					z							x 2			y 5		z 4
			п
											;														.	12.6													.
5				1			6								1					4			5							2				3		4
	е																											x 2				y 1			z 3
12.7			Прямая параллельна плоскости.																							12.8											.
																														3			1			2
								62														19
												;																		x 2y			5z 17 0 .

12.9 1) arcsin													2) arcsin													. 12.10
Р								63												11				7
12.11					3; 4;0 .										12.12.								1; 2;5 . .							12.13				A 2;7;1 .
																					39

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.84 Mб217математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx