Математика_практикум_Ч1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

33.1 Найти , , , , ,

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

29.4 Найти частные производные от неявно заданных функций:

1)	xyz
3)	x

x y z ;

y z e x y z ;

2)	z	3

4)	zexy

3xyz

zxy2

a	3	;

a2 .

a2 cos2t ;

2xt ln y

Ответы:

29.1

;

t 2 1

y 1 t 2

2x;

cos x

;

2 sin x

3x ln 3arctg

;

ln 3arctg

e x

;

1 y2

cos y

y cos x ;

u2 v2

x sin y

sin x

; й

u2 v2

y x y 1

ln y ;

р2 2

x y ln x

;

иv

sin xy y e

sin xy

;

sin xy y u e

sin xy x

;

29.2 1)

2xy y2 yz yz3

;

x2 2xy xz xz3

;

Рz

xy 3xyz2

;

x2 z

;

; 3)

z2 x2 y

x z

y x z

;

y ln

;

x ln

;

xyz

xy 1

sin z

xyz

xy 1

sin z

29.3 1)

2e2t x y

;

2x t 1 cos x y Т;

x2 y2

sin x y x cos x y

t 4

y ln v

ln v

;

u ;

29.4 1)

1 yz

;

1 xz

;

xy 1

;

; 3)

1 ;

z2 xy

yze

и2

xze

2xyz

;

exy

xy2

exy xy2

Занятие 30.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент

Аудиторные задания

30.1 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к

поверхности в указанной точке:

x2 y2 z2 26; M 3,4,1 ;

; M

2,3,2 ;

3) ez z xy 3; M

2,1,0 ;

z xy

x2 y2 ; M

3,4,0 ;

z sin xy ; M

30.2 Найти

производную

функц

u xy2 z3 xyz

точке

M 1,1,2

по направлению векто а, об азующего с координатными

осями острые углы, если 60 , и45 ?

30.3 Найти

производную

рфункции

u x2

2xz y2

точке

M 1,2, 1 по направленою вектора MM1 , где M1 – точка с

координатами 2,4, 3т.

30.4 Найти град ент функций в указанных точках:

z 4 x

зy ; M

1,2 ; 2) z

y2 1

; M 0,3 ;

z e x

; M 1,1 .

е30.5 Найти наибольшую скорость возрастания функций в

указанных точках:

6xy; M0 2,1 ; 2)

u xzye

x y z

; M 1,1, 1 .

z 5x

Домашние задания

30.6 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке:

1) x

15; M0 2, 3,2 ;

2) 4y2 z2 4xy xz 3z 9; M

1, 2,1 ;

3) z x3 y3 z3 xyz 6; M0 1,2, 1 .

30.7 Найти

производную

по

направлению

функции

z 5x2

2 y2

в точке M 2,5

по направлению к точке N 2,2 .

30.8 Найти градиенты функций в указанных точках:

1) u x

3xyz; M0 2,1, 1

;

2) u x2 arctg y z ; M

2,1,1 .

3йy 4

z 1

Ответы: 30.1 1)

3x 4 y z 26;

;

и3

2) 3x 2 y 3z 6;

z 2

;

2 / 3

3) x 2 y

;

4) 17x 11y 5z

95;

x 3

y 4

;

x 1

5) x 3y 6z 2 3 3 0;

;

2) grad z

30.2

30.3

;

30.4

grad z 2i

4 j ;

i ;

grad z ej ; 30.5 1)

205

; 2)

;

30.6 1) 2x 9 y 8z 15 0;

x 2

y 3

z 2

;

2) 3x 4 y 5 0;

x 1

y 2

z 1

;

x 11y 5z 17 0;

x 1

z 1

;

30.7 – 4; 30.8 1) grad u 15i 9 j 3k

; 2) grad u

k .

Занятие 31.

Экстремум и условный экстремум

31.1 Исследовать на экст емум следующие функции:

функции нескольк х переменных

Аудито ные задан я

z x3

6x x2 xy y2 ; 3) z x3 y3 ;

y3 3xy ; 2)

y x2 y 6x 3 .

z 6x2 y3

6x2 9y2

1; 5) z x

31.2 Найти условные экстремумы следующих функций:

z 2x y

, если

x2 y2 5 ;

z xy 3x2 , если

y 1 0 ;

z 2x2 9 y2 , если

x2 9 y

2 1;

z x2

2 y2 , если

3x 2y 11.

Домашние задания

31.3 Исследовать на экстремум функции:

1)z x3 8y3 6xy 1 ; 2) z 3x2 y y3 18x 30y ;

3) z x 1 2 4 y2 .

31.4 Найти условные экстремумы функций:

z xy, x y 1; 2)

z e

, x y 1; 3) z xy, x

8 .

Ответы:

31.1

zmin z 1,1 1;

zmax

z 4, 2 8 ;

3) экстремума нет; 4)

zmax

z 0,0 1; 5)

zmax z 4,4 15;

31.2 1) z 2,1 5

– условный max, z 2, 1 5 – условный min;

z 0,25; 1,25 0,125 – условный min;

1У

z 1,0 2; z 1,0 2

–

условный

max,

Т3

z 3,1 11 – условный min;

1 – условный min; 4)

31.3 1) zmin z 1;0,5 0 ;

zmin z 1;3 72; zmax

z 1, 3 72 ;

3) zmin z 1;0 0 ;

31.4

z 0,5;0,5 0,25

–

;

–

усл вный max;

2) z

условный max;

– условный min; z 2, 2 4 – услов-

z 2; 2 z 2;2

ный max.

Занятие 32.

зНаибольшее и наименьшее значения

функции нескольких переменных в замкнутой области

Аудиторные задания

32.1 Найти наибольшее

наименьшее

значение функции

замкнутойе области:

1) z e

x3 3x2 6 y

, x

2) z x2 xy 2y2 3x 2y 1, x y 5 0, x 0, y 0 ;

z x2

2xy 10, y x2 4, y 5;

4)	z
5)	z



x	2	y 4 x y , x

x	2	y	2	, x	2	y	2

0, y 0, x y 6

9 .

Домашние задания

;

1)z x2 xy y2 4x 2y 5, x y 3, x 0, y 1Т; У

2)z x y, x2 y2 1; Н6 . Б5) z 1 2x 3y, x 0, y 0, x y

Ответы: 32.1 1) z

наиб

z 0,1 e6

, z

на м

z 0,0 1 ;

zнаиб z 0, 5 41, zнаим z 2, 1 3 ;

очках

zнаиб z 3,5 29, zнаим z и3,5 31;

наиб

z 2,1 4, z

наим

z 4,2 64 ;

x2 y2 9 ),

наиб

(в

окружности

zнаим z 0,0 0 ;

32.2 1) zнаиб

z 0,3 20, zнаим z 2,0 1;

з2 2

;

2 , z

;

2 ;

наиб

наим

z 2, 1 13, z

z 1,1 z 0, 1 1;

наибп

наим

zнаиб z 3,5;4,5 4,25; zнаим z 8,6 16 ;

zнаиб z 0,6 19, zнаим z 0,0 1.

Занятие 33.

Комплексные числа и действия над ними Аудиторные задания

1) 3 7i, 3 2i ; 2) 1 6i, 5 4i .

33.2

Возведите в указанную степень данные комплексные числа:

1) 1 i 2 ; 2) 1 2i 3 ; 3) 1 i 5 ; 4) 1 i 6 .

33.3

Найдите действительную

мнимую

частиТкаждого

комплексного числа:

1) 1 i 2 ; 2) 3 4i 2 ; 3) 3 2i 3 .

33.4

Выполните действия:

1) 2 3i 4 i 5 4i ; 2)

3 4i

5i 2

i 2

;

2 3i

1 3i

4i 1; 4)

8 i 2

3i 4 .

1 2i

33.5

Представить

следующие

комплексные

числа

тригонометрической формеозаписи:

1) 1 i ; 2) i ; 3)

i ; 4) 5 4i .

Вып

33.6

лнитезуказанные действия:

1) 1 i 5 ; 2) 2 2i 4 ; 3) i 10 ; 4) 3 3 3i ;

; 6) 3 1 3i ; 7) 3 8 ; 8) 6 64 ; 9) 4 1 .

Домашние задания

Р33.7

Найти , , , ,

, 1,

, 2 , если

1 2i, 2 i .

33.8 Найти действительную и мнимую части комплексных чисел:

4 2i

; 2)

2 4i .

1 3i

33.9 Вычислите: 1)

1 i 5

;

1 i 7

1 i 3

1 i 5

33.10 Запишите в тригонометрической форме записи следующие

числа:

1) 3; 2) – 5; 3) 5 5i .

33.11 Возведите в указанную

степень

каждое

из

данных

комплексных чисел:

4 cos

i sin

; 2)

cos

i sin

;

i sin

2 cos

ко

33.12 Найдите

значения

няиуказанной

степени

из

данных

комплексных чисел:

1) 3 8 cos

; 2) 3

2 2i

; 3) 3 i

; 4) 4 1 .

i sin

Ответы:

33.1 1)

9i; 5i; 3 7i; 3 2i; 5 27i;

i; 5 12i ;

2) 6 2i; 4 10i; 1 6i; 5 4i; 29 26i;

i; 9 40i .

33.2е1) 2i; 2) 11 2i ;

3) 4 4i ; 4) 8i.

33.3 1) Re 1 i 2

0, Im 1 i 2

2 ;

2) Re 3 4i 2 7, Im 3 4i 2 24 ;

3) Re 3 2i 2 9, Im 3 2i 3 46 .

33.4 1)				16 14i								; 2)								175							199				i ; 3)				2 3i ; 4)									27	261 i .
33.4 1)				16 14i								; 2)																			i ; 3)				2 3i ; 4)										261 i .
																				13							13																	34	34

33.5 1)					2												i sin										;																		;
33.5 1)					2		cos										i sin										;		2) cos										i sin						;
												4											4														2							2		У

																									;

3) cos									i sin
						3														3
																				4																		4
4)		41		cos arctg																					i sin arctg															.					Т
4)		41		cos arctg																					i sin arctg															.
																																						5
																				5																		5
33.6 1) 4 4i ; 2) – 64; 3) – 1;																																									Б
33.6 1) 4 4i ; 2) – 64; 3) – 1;																																												Н
			3 3																																									Н
4)							2			cos										i sin										;
4)							2			cos										i sin										;
		1														12										12
																12										12							и
																																	и
													3										3																2			2
		3 3			2			cos										i sin												3 3			2								i			;
		3 3			2			cos										i sin												3 3			2								i			;
	2																												р							й
												4													4													2				2
		3												17														17
				3		2 cos														i sin												;
				3		2 cos														i sin												;
	2																			т
	2															12												12
																12												12
					2							2			и									о2									2
5) 1									i								; 2												i						;
5) 1									i								; 2												i						;
				2						з																2							2
				2								2														2							2
						о
																																		7							7
6)				2 cos							i sin										;					2			2 cos								i sin						;
		1																								2
			п							9										9													9								9
										9										9													9								9
е							13												13
							13												13
3			2 cos								i sin											;
							9													9
7) 1 1 i										3; 2 2; 3 1 i 3 ;
8)		1 3 i; 2 2i; 3 3 i; 4 3 i; 5 2i; 6 3 i ;
Р9) 1 1; 2 i; 3 1; 4 i .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20152.84 Mб217математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx