Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика№3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

5.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

x	r cos	sin	,	r
y	r sin	sin	,	2	(2.14)
z	r cos	,

имеет вид:
f (x, y, z)dxdydz									ɍ
V									ɍ
V
f (rcos sin	r sin		sin	rcos		r2 sin		drd d .
	z							ɇ
	0				M(x,y,z)			ɇ
			r		M(x,y,z)				Ɍ
					x		Ȼ
						y
x	y				ɣ
			ɢ
		Рис. 2.15
		ɪ						zdxdydz , где V
Пример 4. Вычислить тройной интеграл								zdxdydz , где V
ɨ							V
							V
ограничена сферой x2	y2		z2		и конусом z			x 2 2 и яв-
ɬ z
ляется внутренней по отношению к конусу (рис.2.16).
ɢ			2

ɟɩɨz Ɋ

x 2 2

x2 y2 z2 r=2

Рис. 2.16

Решение. Перейдем в данном интеграле к сферическим координатам. Уравнение сферы запишется в виде r=2, а уравнение

конуса

/4. В области

координаты r,

изменяются сле-

дующим образом: 0

2, 0

, 0

/4. Тогда

zdxdydz

cos

r2 sin

drd

cos d

sin

r3 dr

sin 2 d

(

cos 2 )

2 .

2.4. Криволинейные интегралы I и II рода

а) Криволинейный интеграл по длине дуги (криволиней-

ный интеграл I рода). Пусть функция f(x,y) определена и непре-

рывна в точках дуги АВ гладкой кривой Г.

Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных

дуг точками А=Ао, А1, А2, ..., Аn=В; пусть

sk – длина дуги Аk-1Аk.

На каждой элементарной дуге

выберем

произвольную

точку

Mk( k;

k) и умножим значение функции

k) в этой точке на

длину

соответствующей дуги.

Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ

называется сумма вида

f (

sk .

Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции

f(x,y) (или криволинейным интегралом I рода) называется предел

интегральной суммы при условии, что max

f (x, y)ds

f (

lim

)

max

A B

ɢ k

(ds – дифференциалɡ

дуги).

Криволинейный интеграл I рода в случае, когда кривая зада-

на уравнениемɨ y= (x) (a

b), вычисляется по формуле

ɩf (x, y)ds

f [x,

x)] 1

x)]2 dx .

Если

f(x,y)>0,

то

криволинейный

интеграл

рода

f (x, y)ds представляет собой массу кривой Г, имеющей пере-

менную линейную плотность = f(x,y) (физическое истолкование).

Если

f(x,y) 0,

то

криволинейный

интеграл

рода

f (x, y)ds численно равен площади части цилиндрической по-

верхности, у которой направляющая Г лежит в плоскости xOy, а образующие перпендикулярны ей; эта цилиндрическая поверхность ограничена сверху поверхностью z= f(x,y), а снизу плоскостью xOy (геометрическое истолкование).

б) Криволинейный интеграл по координатам (криволи-

нейный интеграл II рода). Пусть в декартовой системе коорди-

нат Oxyz задана линия Г, в точках которой определена векторная

функция F(x, y, z) с координатами P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z).

Разобьем кривую Г на n частей

Гi точками Mi, i

0, n . На

каждой части разбиения

Гi выберем по одной точке Ki(xi,yi, zi)ɍ.

Составим так называемую интегральную сумму

F(xi , yi , zi ), Mi 1Mi

P(ki ) xi

R(ki ) zi ,

i 1

Q(ki ) yi

где

xi 1

xi ,

yi ,

zi ,

слагаемыми

которой являются скалярные произведения; вектор

M i

1M i со-

единяет начало и конец части разбиенияɣГi.

от

вектор-функции

Криволинейным

интегралом II

рода

F(x, y, z)

по кривой Г называется предел интегральной суммы n

ɨ&

0 (если этот предел коне-

при условии, что диаметр разбиения

чен, не зависит от способа разбиения и от выбора точек Ki). Обо-

значение криволинейного интеграла II рода:

lim

(F(x, y, z), dl )

P(x, y, z)dx

Q(x, y, z)dy

R(x, y, z)dz.

криволинейный интеграл

(F, dl ) вы-

Физический смысл:

ражает работу силы F(x, y, z)

при перемещении точки ее прило-

жения вдоль кривой Г.

ɩЕсли направление обхода кривой Г изменить на противопо-

ложное, то указанный интеграл изменит свой знак.

2.5. Поверхностные интегралы I и II рода

а) Поверхностный интеграл I рода. Пусть F(x,y,z) – непре-

рывная функция и z=f(x,y) – гладкая поверхность S, где f(x,y) зада-

на в некоторой области D плоскости xOy. Поверхностным инте-

гралом I рода называется предел интегральной суммы при усло-

вии, что max dk

lim

F( ,

k ,

k )

F(x, y, z)dS ,

maxdk

где Sk – площадь k-го элемента поверхности S, точка (

k ; k k )

принадлежит этому элементу,

–

диаметр

этого

элемента,

F(x,y,z) определена в каждой точке поверхности S.

Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны по-

верхности S, по которой производится интегрирование.

Если проекция D поверхности S на плоскость xOy однознач-

на, то соответствующий поверхностный интеграл I рода вычисля-

ется по формуле

F(x, y, z)dS

F[x, y, f (x, y)] 1

z 2

dxdy .

б) Поверхностный интеграл II рода. Пустьɇв декартовой

системе координат Oxyz задана двусторонняяя поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S, задав определен-

ное направление единичного вектора нормали

n&(x, y, z) , точка

(x,y,z) S.

И пусть в точках поверхности S

определена вектор-

функция F(x, y, z) с координатами P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Сде-

лав разбиение S на n частей Ti с площадямит Si, составим инте-

гральную сумму вида

, y

, z

)) S

( (x

, y

, z

), n&(x

i 1ɨ

где (xi,yi,zi) Ti;

& &

означает скалярное произведение векторов

(F, n)

и n .

интегралом

рода

от

вектор-функции

Поверхностным

F(x, y, zɡ) по выбранной стороне поверхности S называется предел

интегральной суммы

n при

0 (

– диаметр разбиения), если

этот предел существует; конечен, не зависит от способа разбие-

ния и от выбора точек (xi,yi,zi). Обозначение:

lim

F(x, y, z), n&(x, y, z))dS

P(x, y, z)dydz

Q(x, y, z)dzdx

R(x, y, z)dxdy.

Физический смысл. Указанный интеграл выражает массу

жидкости единичной плотности, протекающей через&поверхность

S в направлении вектора нормали n&

со скоростью F за единицу

времени, то есть &так называемый поток &вектор-функции (или векторного поля) F через S в направлении n .

2.6. Вычисление криволинейных интегралов I и II рода

Пусть функция f(x,y,z) определена и непрерывна в точках ду-

ги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение

дуги АВ задано параметрическими уравнениями

x=x(t), y=y(t), z=z(t), (t0

t t1) ,

то

x 2 (t)

f (x, y, z)dl

f (x(t), y(t), z(t))

(t)

z 2 (t)dt

(2.15)

В случае плоской кривой АВ

f (x, y)dl

f (x(t), y(t))

x 2 (t) y

2 (t)dt .

(2.16)

Механический смысл криволинейного интеграла I рода: если

f(x,y,z)>0, то

f (x, y, z)dl представляет

собой

массу

кривой,

A B

имеющей переменнуюɨлинейную плотность

=f(x,y,z).

Пример 1. Вычислить массу отрезка прямой, заключенного

между точками А(0;–2), В(4;0), если

ɨ2

Решение. Найдем уравнение прямой АВ: y=0,5x–2; тогда

dx .

Отсюда M

5 ln 2 .

0 x

Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны в точ-

ках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если

уравнение дуги АВ задано параметрически x=x(t), y=y(t), z=z(t),

(t0

t t1), то

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

Q(x(t), y(t), z(t)) y (t)

(2.17)

P(x(t), y(t), z(t)) x (t)

R(x(t), y(t), z(t)) z (t))dt.

В случае плоской кривой АВ

P(x, y)dx Q(x, y)dy

(2.18)

P(x(t), y(t)) x (t) Q(x(t), y(t)) y (t))dt.

Пример 2. Найти работу силы

вдоль

2xi

jɇyzk

части

кривой

4x2

(линия

пересеченияȻповерхностей

4x2

0 ) от точки A

,0,4ɣдо точки

B(1,

3,4) .

Решение.

ch t, y

sht, z

4 .

(0 t

arcch 2)

–

пара-

. По формуле (2.17)

метрическое задание пути AB

(F, dl )

2xdx

ydy zyxdz

arcch 2

ɢ1

2 ch t

2 sh t

sh t ch t

2 ch t sh t

4 0 dt

arcch 2

1 (2 ch2arcch 2

(ch(2 arcch 2)

)

(29

) .

sh 2tdt

Пример 3. Вычислить работу силы

x&j

вдоль части

кривой

2, A

, B(0,2) . Движение от точки A к точке B – по

ходу часовой стрелки.

Решение.

cos

2cos

, y

sin

2sin

– парамет-

рическое задание части кривой (

в роли параметра t). По форму-

ле (2.18)

ydx

xdy

( 2 sin (

2 sin )

cos

2 cos )d

cos 2

2 sin 2

2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода.

Связь между ними

а) Поверхностный интеграл I

рода (ПОВИ-1). Если по-

верхность Т задана уравнением

z=z(x,y), (x,y) D Oxy, причем

z(x,y) имеет непрерывные частные производные, а проекция D

поверхности Т на плоскость Oxy имеет кусочно-гладкуюɇграницу,

если

в точках

поверхности

Т задана непрерывная

функция

f(x,y,z), то интеграл от f(x,y,z) по площади поверхностиȻ

Т (I рода)

существует и вычисляется по формуле:

f (x, y, z)dS

f (x, y, z(x, y))

ɣ z

dxdy .

(2.19)

(Справа в этой формуле стоит двойной интеграл).

Аналогичные формулы можно получить, проектируя по-

верхность T на другие координатные плоскости.

б) Поверхностный интеграл II рода (ПОВИ-2). Если по-

верхность Т задана так же, как в предыдущем пункте а), то по-

верхностный интеграл II рода

f (x, y, z)dxdy существует и сво-

дится к двойному интегралу по проекции D поверхности Т на

плоскость Oxy следующим образом:

T f (x, y, z)dxdy

D f (x, y, z(x, y))dxdy .

(2.20)

Знак “+” в формуле (2.20) берется, если нормаль к выбран-

ной стороне поверхности Т образует острый угол с осью Oz; знак

“–” – в случае тупого угла.

Формулы, аналогичные (2.20), имеют место и для поверхно-

стных интегралов II рода таких, как:

f (x, y, z)dydz,

f (x, y, z)dzdx .

При

этом

нужно спроектиро-

вать поверхность Т на плоскости Oyz и Ozx соответственно.

в) Связь между ПОВИ-1 и ПОВИ-2). Имеет место формула

P(x, y, z)dydz

Q(x, y, z)dzdx

R(x, y, z)dxdy

(2.21)

P(x, y, z)cos

Q(x, y, z)cos

R(x, y, z)cos

)dS ,

связывающая поверхностные интегралы II рода (слева) и I рода

(справа). Здесь , ,

есть углы, образованные с осями Ox, Oy, Oz

нормалью n&(x, y, z)

к выбранной стороне поверхности Т в точкеɍ

(x,y,z).

Пример1. Вычислить

массу

плоской

пластины

Т: x

1 , расположенной в I октанте (рис. 2.17) и имею-

щей поверхностную плотность

(x, y, z) 2x

Ȼy .

3 y

ɬ2

Рис. 2.17

z(x, y)

4 1

Решение. Уравнение поверхности Т:

(x,y)

D есть проекция Т на плоскость Oxy. По формуле (2.19):

mТ

f (x, y, z)dS

(x, y, z(x, y)) 1

dxdy

4 y

4 1

(2)2

2 dxdy

dxdy

4 61

S D ,

где SD – площадь фигуры D. А так как D – это

OAB,

то –

2 3

3 . Итак,

61 3

61 (кг).

Пример 2. Вычислить поток П векторного поля

–

( k

единичный направляющий вектор оси Oz) через верхнюю сторону

нижней половины сферы Т:

R2 .

Решение. Уравнение нижней полусферы:

2 . Нормаль

к выбранной стороне образует

острый угол с Oz, поэтому по формуле (2.20) имеем:

zdxdy

R 2

dxɇdy .

(F, n&)dS

Здесь D – проекция Т на плоскость Oxy естьȻкругx2

R2 .

Перейдем в последнем двойном интеграле к полярным координа-

там x=rcos

, y=rsin , 0

, 0

r R. В итоге:

1 2

rdr

2 1/ 2

d(R

)

2.8. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса

Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым

интегралом по границе данной фигуры.

непрерывны в об-

Пусть функции P(x, y), Q(x, y),

ласти D Oxy и на ее границе Г; область D – связная; Г – кусочно-

гладкая кривая. Тогда верна формула Грина:

ɩP(x, y)dx

Q(x, y)dy

Q(x, y)

P (x, y) dxdy ;

(2.22)

здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двой-

ной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки.

Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя по-

верхность с кусочно-гладкой границей Г. Если функции P(x,y,z),

Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производные I порядка непрерывны

в точках поверхности Т и границы Г, то имеет место формула

Стокса:

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy

(x, y, z)dz

(2.23)

P dxdy

dydz

dzdx ;

слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхно-

стный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т, ко-

торая остается слева при обходе кривой Г.

Если связная область W Oxyz ограничена кусочно-гладкой,

замкнутой поверхностью Т, а функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,zɍ) и

их частные производные первого порядка непрерывны в точках

из W и Т, то имеет место формула Остроградского-ГауссаɌ:

P(x, y, z)dydz

Q(x, y, z)dzdx

R(x, y, z)dxdy

(2.24)

R dxdydz ;

слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне по-

верхности Т; справа – тройной интеграл по области W.

ɣ&

Пример 1. Вычислить работу силы

) j

R2 , на-

при обходе точки ее приложения окружности Г: x2

чиная от оси Ox, по часовойɪстрелке (рис. 2.18).

ɨy

x 2

-R

Рис. 2.18

Решение.

Работа равна A

)dx

)dy . Приме-

ним формулу Грина (2.22), ставя знак “–” справа перед интегра-

лом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что

P(x,y)=x-y, Q(x,y)=x+y. Имеем:

A	(x y)	(x y)	dxdy	2dxdy	2SD ,

D				D

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx
#
31.05.20152.29 Mб67Материал по философии.pdf
#
24.09.2019384.17 Кб5МАТЕРИАЛО.docx
#
21.09.20191.77 Mб4Материаловедение ПУЧКОВ 2011 шпоры.doc