Математика Яцкевич, Раевская 2012

6.8. Формула Тейлора и ее приложения

Если функция /(х) дифференцируема (п+1) раз в окрестности о ®

•■+ ^ —7 " - (х - Х0 У1+ Rn( X),

п\

где Rn(x)=—---- • (х- x0)"+1, 0 < G< 1 - остаточный

член в форме Лагранжа.

Приведем разложения некоторых функций по формуле Тейлора при х = 0, которые называются формулами Маклорена:

140

И+1

* » W = (-0 ”-(n+i ) ( i +& ) „ ,;

Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в

f(x) = 10*; /'(*) = 10хIn10; f"{x) ==10r In210, f m(x) = 10* In310; f {l% ) =10*In410; /(0)= 1; /'(o) = InlO, /*(o)= In210,

/"(0) = In310,/ (/^(ex) = 100J4 n 410.

141

Используем формулу Тейлора с остаточными членами в форме Пеано:

sinx = X+ 0(X),COSJC = l-- ^ - + ^ - + o(jc5^ez =1 + z +— + o(z3).

143

7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

Одним изважнейших приложений производной является ее при­ менение к исследованию функций и построению графиков функций.

7.1. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума функции

Функция у = /(х) называется возрастающей (убывающей) в ин­

тервале (a,b), если из неравенства xj < х2, где xlsx2 е (a,b), следует

неравенство /(*i)< /(* 2) (или, соответственно,

Функция /(х) называется постоянной на интервале (a,b), если она принимает на этом интервале одно и то же значение.

Теорема 1 (достаточное условие возрастания (убывания) функ­ ции). Если функция у = f(x) дифференцируема на интервале (а,Ъ)

Возрастающие и убывающие функции называются монотонны­ ми. Определим условия постоянства функции.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условия постоянства функции). Функция у = f(x) постоянна на интервале (а,Ь) тогда

и только тогда, когда /'(х) - 0 в каждой точке интервала.

Функция fix) имеет в точке х0 минимум (локальный минимум)

(максимум), если существует 5-окрестность точки х0 (х0 -5,х0 + 5) такая, что для всякой точки л- * х0 из этой окрестности выполня­

ется неравенство /(х)> /(х 0) (или /(х )< /(х 0)). Точки минимума и максимума функции /(х) называются ее точками экстремума,

144

а значения функции fix') в этих точках называются экстремумами

функции.

Сформулируем условия существования экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если х0 - точ­ ка экстремума функции /(х), то в этой точке = 0 или

/'(х0) не существует.

Точка х0, в которой /'(*) обращается в ноль или /'(*) не суще­ ствует, называется критической точкой функции /(х ).

Теорема 4 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция /(х) дифференцируема в некоторой окрестности

(х0 -5,х0 + 6) критической точки х0> за исключением, быть мо­ жет, самой точки х0 и при переходе через нее (слева направо) производная /'(х) меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума; если /'(х) меняет знак с минуса на плюс, то

х0 - точка минимума функции /(х). Если же /'(х ) сохраняет знак при переходе через точку х0 , то х0 не является точкой экс­ тремума функции.

Теорема 5 (второе достаточно« условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в критической точке х0

г ( х о) >0. то х0 —точка минимума f(x). Если же /"( XQ) = О, то требуются дополнительные исследования.

Отметим, что в точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

На рис. 7.1 приведены примеры экстремумов функции.

145

Рис. 7.1

О п р и м е р 7.1. Найти интервалы монотонности и точки экс­

2х2 -1 тремума функции у - ■

Р е ш е н и е . Область определения этой функции: (-oo,0)U(0,+°o).

ческие точки функции (в точке х3 = 0 у' не существует, но jc3 = 0 не

входит в область определения функции). Эти точки разбивают об­ ласть определения функции на интервалы монотонности. Исследу­ ем знаки производной у’ на этих интервалах, укажем вид интерва­ лов монотонности функции, характер критических точек.

У1'-

-1

146

Следовательно, (—оо,—l)U(0,l) - функция возрастает, (-l,0)U(l,+«>) - функция убывает, х = -1,х = 1 - точки максимума функции, y(l)= у ( - 1)= 1 - максимумы функции. Точек минимума нет. ф

7.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у ~ f(x) непрерьгона на отрезке [о,ft]. Такая функ­ ция достигает своих наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке. Эти значения функция может принимать либо во внутрен­ них точках (тогда это критические точки функции), либо на границе отрезка [я, ft].

Получаем следующую схему нахождения наибольшего и наи­ меньшего значений непрерывной на отрезке [a,ft] функции /(х):

1. Найти производную f'(x ) и критические точки функции на интервале {a,ft) (из условия /'(х) = 0 или /'(jc) не существует).

2.Вычислить значения функции в найденных критических точ­ ках и на концах отрезка [a,ft].

3.Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

[J П р и м е р 7 .2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-

: ции у = -Зх4 + 18л:2 - 5 на отрезке [~1,2].

Ре ш е н и е .

1.Находим У = -12х3+36х = 12х(з-*2)=12х(\/з-*)(л/з+*). Кри­

тические точки функции на отрезке [-1,2] .Xj -- 0, х2 =л/з (точка

х= —Уз не входит в [-1,2] ).

2.Вычисляем у(о)= -5, у{у[з)= 22. Находим значения функции на концах отрезка: у ( - i) = 10, у(2,)=29.

3.Итак, ,унаиб = у(2) = 29, Утт = у(0) = -5 . ®

7.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Оп р е д е л е н и е . График дифференцируемой функции у - /{х) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если дуга

147

кривой на этом интервале расположена ниже (выше) всякой каса­ тельной, проведенной к графику функции у = f(x) на (a,b).

О п р е д е л е н и е . Точка (jc0,f( x Q)), при переходе через ко­ торую направление выпуклости меняется на противоположное, на­ зывается точкой перегиба графика функции у = f{ x ) .

На рис. 7.2 график функции у = f(x) на интервале (а,х0) - во­ гнутый, на интервале (х0,Ь) - выпуклый, а точка М (хО’А хо)) яв­ ляется точкой перегиба графика.

Рис. 7.2

Теорема 6 (достаточные условия выпуклости (вогнутости) гра­ фика функции). Если функция у = f(x) во всех точках интервале (.а,Ь) имеет вторую производную и f ( x ) < 0 (/"(х) > 0), то гра­ фик функции на интервале (a,b) выпуклый (вогнутый).

Теорема 7 (необходимое условие точки перегиба). Если точка М(х0,/(х0)) является точкой перегиба графика функции у - f{x).

то / я(х0) = 0 или f i x ) не существует при х = .

148

Точки, в которых f i x ) обращается в-ноль или f i x ) не сущест­ вует, называются критическими точками второй производной.

Теорема 8 (достаточное условие точки перегиба). Пусть фукция у - f{x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности

(х0 - 8,х0 +Ь) точки х0, в которой /*(х) = 0 или f i x ) не суще­

ствует, Если вторая производная f i x ) меняет знак при переходе через точку х0, то Л/(х0,/(х 0)) является точкой перегиба гра­ фика функции.

Таким образом, область определения функции у = fix) разбива­

ется на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости (вогнутости). Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых f ( x ) = 0 или f ( x ) не существует.

О П р и м е р 7.3, Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точ­ ки перегиба графика функции у = ln(l + х2).

точки разбивают область определения функции на 3 интервала, на каждом из которых сохраняется направление вогнутости или вы­ пуклости. Определим знаки второй п]юизводной на этих интерва­ лах, характер точек хх= 1, х2 =- 1.

Таким образом, на (- co,-l)U 0»+°°)—функция выпукла; на (- l,l) - функция вогнута; точки A/1(l,ln2^M2(--l,In2) -точки перешба гра­ фика функции, ф

149