Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdfО п р и м е р 7.8. Написать уравнения касательной к годографу
-♦ |
—■ |
_ |
ft |
r(t)=acost-J + asint-j+bt-k |
в точке t0 = — , (это винтовая ли- |
||
Р е ш е н и е .
dx |
. |
|
dy |
|
dz |
|
|
|
— = -asm/; |
|
— -acost; |
— = b; |
|
|
|
||
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
71 ^ |
7t |
y fl |
/ \ |
ж |
. n |
V2 |
|
|
- l = aco s- = a — |
; y{t0) =y |
|
= asin— = a----; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
z{t0)=: |
j |
= b 71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
_ =
T t <4
4
.71 |
4 l |
dy |
_ |
71 |
л/2 |
dz |
= b. |
—osin—= - a — ■ — |
=acos— = a — ; |
— |
|||||
4 |
2 |
dt |
<4 |
4 |
2 |
dt |
t=- |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
160
Подставив в формулу (7.2), имеем:
х -------ал/2 у ----------- |
a-J2z - b —, я |
|
2 |
2 |
4 |
------ f=- =----- |
— = ---------— - уравнения касательной к винто- |
|
av2 |
аы2 |
Ъ |
ТС вой линии в точке t0 = —. ф
4
Плоскость, проходящая через точку касания M(tQ) и перпенди кулярная к касательной, называется нормальной плоскостью к кривой в этой точке.
Ее уравнение имеет вид:
dt |
dt |
(7.3) |
dt |
||
О п р и м е р 7.9. |
Написать |
уравнение нормальной плоскости |
к винтовой линии |
r(t) = acost |
i+asint-j+bt-Jc в точке |
(см. предыдущий пример).
Р е ш е н и е . Так как все необходимые величины найдены, то имеем по формуле (7.3):
а Л ( |
ayfl |
aV2 |
у — |
a-j2 |
+ b\ z |
1= 0.®* |
|
х ------- |
|
|
7.9. Кривизна плоской линии
Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности.
Рассмотрим кривую, которая не пересекает саму себя и имеет определенную касательную. Возьмем две точки А я В.
Углом смежности дуги АВ называется угол поворота касатель ной при переходе от точки А к точке В (рис. 7.7).
161
Рис. 7.7
У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та ду га, у которой угол смежности больше. Однако, степенью искрив ленности нельзя оценить форму дуги различной длины с одним и тем же углом смежности.
Средней кривизной кср дуги АВ называется отношение соответ
ствующего угла смежности а к длине дуги:
а
^ср
АВ | Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных час
тей (дуг) может быть различна.
Кривизной кА линии в данной точке А называется предел сред-
ней кривизны дуги |
АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю |
||
(когда B—>A): |
|
|
|
кА = lim к( |
lim |
||
В->А |
ср |
U |
и |
|
|||
|
|
АВ ->0 АВ |
|
162
Предположим, что кривая задана в декартовой системе коорди нат уравнением вида у = fix ) и пусть f(x ) имеет непрерывную
вторую производную.
Тогда кривизна плоской линии определяется по формуле
Заметим, что кривизна не может быть отрицательной. Если кривая задана параметрически, то
4У = У]_. |
_ У'А ~ ХУ ‘ |
dx xt ’ dx2 |
J |
Подставляя это в (7.4), получим кривизну плоской линии, задан ной параметрически
|
A |
y't |
|
|
к = |
А |
у " |
(7.5) |
|
(х'г + у 2)мг |
||||
|
|
|||
Пп Р и м е р 7.10. Найти кривизну кривой у = х3 в точке Л/(2;8). Р е ш е н и е . Найдем производные: — = З х 2 ,
|
|
|
dx |
|
|
dy |
. |
d 2y _ |
d2y |
12. |
|
dx м |
=3-2^ = 12; |
-6x, |
= |
|
|
|
dx |
dx1 м |
|
|
|
Тогда кривизна равна к = |
|12| |
12 |
12 |
||
|
Л/(1 + 144)3 |
• О |
|||
|
|
(l + (l2)2),/2 |
Vl4? |
||
163
7.10. Понятие эволюты и эвольвенты
Величина R, обратная кривизне линии в данной точке М, называ етсярадиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке, т. е.
3/2
н и ]
d 2y dx2
Построим в точке М нормаль к кривой, направленной в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R (рис. 7.8) кривизны кривой I в точке М. Точка С называ ется центром кривизны данной кривой в точке М, круг радиуса R с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.
Рассмотрим кривую у = fix). Если в точке Мх{х,у) данной ли нии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определенный центр кривизны Cj(а, р).
Совокупность всех центров кривизны данной линии образует не которую новую линию, называемую эволютой по отношению к
164
первой. Или: геометрическое место центров кривизны данной ли нии называется ее эволютой. По отношению к своей эволюте дан ная линия называется эвольвентой (инволютой илиразверткой).
Теорема (свойство эволюты). Нормаль к данной кривой являет ся касательной к ее эволюте.
7.11. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе
В любой точке М{х,у,г) пространственной кривой Я = г(/) =
= x{t)i + у(/) j + z(t')k можно построить три взаимно перпендику лярных вектора:
it
I
в =
I
i
мг
направляющий вектор касательной к r(t); (7.6) 1
- направляющий вектор бинормали к г (?); (7.7) I
B , f \ - направляющий вектор главной нормали к г(/). (7.8) |
Определим соответствующие им единичные векторы по фор мулам:
Трехгранник с вершиной в точке М0, ребрами которого служат ка сательная, главная нормаль, бинормаль, называется естественным трехгранником или трехгранником Френе. Гранями его являются плоскость соприкасающаяся (проходит через т, v ), нормальная
(проходит через v, р ), спрямляющая (проходит через (3, т) (рис. 7.9).
165
|
Нормальная плоскость |
\ |
||
|
.. .. |
" |
* |
|
|
Рис. 7.9 |
|
|
|
Уравнения главной нормали имеют вид |
■ |
|||
x ~ x Q |
у - у 0 _ z - z 0 |
|||
(7.10) |
||||
N x |
_ Ny |
N t ’ |
||
|
||||
где N - N xi + Nyj + N zk . |
|
|
|
|
Уравнения бинормали: |
|
|
|
|
x - x 0 У- Уо __ z - z 0 |
(7Л1) | |
|||
Bx |
Bv |
Bz |
||
|
||||
где Bx,By ,Bz - координаты вектора В, т.е. В = B j + Byj + B zk.
Заметим, что уравнения касательной могут быть записаны ана логично уравнению (7.2) в виде
* -*0 _ У~Уо _ |
z ~ z0 |
(7.12) J |
|
*хТ |
1уТ |
AzТ ’ |
|
|
- |
иг |
|
где Тх,Ту,Тг - координаты вектора Т = — . |
|
||
dt
166
Уравнение нормальной плоскости:
Уравнение соприкасающейся плоскости:
Вх{х- х()) + Ву{у- Уо)+ Bz{z- ZQ) = Q.(1Л4) k
чип» ии'цщинн |
нти.......................... |
вш иуцш им м дД |
Уравнение спрямляющей плоскости:
Кривизна пространственной кривой r(t) = x{t)i + y(t)j + z(t)k оп
ределяется аналогично кривизне плоской кривой и в точке М вы числяется по формуле
Кручением пространственной кривой в точке М называется чис-
6
ло ст= lim — , где 0 - угол поворота бинормали, соответствую щем As
щий дуге M N, Если г =?(/)= x(t)J + y(t)j + z(t)k, то кручение а вычисляется по формуле
/ dr d 2r |
rfV) |
||
dt ’ |
dt2 |
’ dt3 |
' |
|
|
2 |
‘ |
Г dr |
d2r ' |
|
|
[ dt ’ dt2 |
|
||
f l 1 *74 V ' - * ' /
167
О П р и м е р 7.11. Найти единичные векторы т, j3, v , уравнения
касательной, нормали, бинормали, уравнения соприкасающейся, нор мальной и спрямляющей плоскостей, кривизну и кручение в точке
( П\
М — винтовой линии r(t) =2cost-i +2sin/ • j + 3t к (рис. 7.10).
• x
Рис. 7.10
Р е ш е н и е . Находим
dr = --2sin/ ■i + 2cost ■j + 3k; dt
= -2cosf ■<-2 sin t-j;
dt1
d*r = 2sin?-i - 2cos t-j. ' d f
168
гг t |
л |
~ dr |
= - 2 i |
+ 3 k , |
При t |
= — |
Т - — |
||
|
2 |
dt м |
|
|
|
|
i |
j |
к |
dr_ d2r_ |
0 |
3 6i +4к |
||
|
|
-2 |
||
dt ’ dt2 |
- 2 |
0 |
||
|
|
0 |
||
i |
|
j |
к |
Ar=[i,f]= 0 |
0 |
4 |
= -8j |
- 2 |
0 |
3 |
|
Находим единичные векторы x, p, v :
x = ■ |
•2i +3к |
|
|
|
|
f\ |
V(-2)2 + 32 |
|
VT3 |
лЯз |
|
5 |
6/ + 4& |
6 |
r 4 |
- |
|
|
л/б |
+42 |
^52 |
i + -r= j; |
|
|
V52 |
|
|||
- JV |
- 8 / |
- |
|
|
|
Записываем уравнения граней трехгранника Френе: -нормальная плоскость к винтовой линии в точке М
= М 0:9 *2* 9: Зя
V |
** J |
fЗя '
-2(jc-0)+0-(y-0)+3 z -----
v2
9тс или -2;r + 3z----- = 0:
2 ■соприкасающаяся плоскость к винтовой линии в точке М 0Й 3%
б(х - 0)+0 • (>■ - 2)+ 4 z --Зя = 0 или б*-t-4г - 6я = 0;
169