- •Содержание
- •Лекция № 1. Теория погрешностей План
- •1.1. Источники и классификация погрешностей
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных
- •1.3. Вычислительная погрешность
- •2.1. Общие сведения и определения
- •2.2. Отделение корней
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод простой итерации
- •2.5. Преобразование уравнения к итерационному виду
- •2 0.777373 -3.32063 Search
- •Лекция № 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений План
- •3.1. Общие сведения и основные определения
- •3.2. Метод Гаусса и его реализация в пакете matlab
- •3.3. Вычисление определителей
- •3.4. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации
- •5. Метод Зейделя
- •3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета matlab
- •Выражения
- •Лекция № 4. Методы решения систем нелинейных уравнений
- •4.2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •Последовательные приближения корней
- •4.3. Решение нелинейных систем методами спуска
- •4.4. Решение систем нелинейных уравнений средствами пакета matlab
- •Iteration Func-count f(X) step optimality cg-iterations
- •Iteration Func-count f(X) step optimality cg-iterations
- •Лекция № 5. Интерполирование функций План
- •5.1. Постановка задачи
- •Решение задачи находится отысканием некоторой приближающей функции f(X), близкой в некотором смысле к функции f(X), для которой известно аналитическое выражение/
- •5.2. Интерполяционный полином Лагранжа
- •5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов
- •5.3.1. Конечные разности
- •5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •5.4. Погрешность интерполяции
- •5.5. Сплайн-интерполяция
- •5.6. Решение задачи одномерной интерполяции средствами пакете matlab
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование
- •6.2. Особенности задачи численного дифференцирования функций, заданных таблично
- •6.3. Интегрирование функций, заданных аналитически (формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона)
- •6.4. Погрешность численного интегрирования
- •6.5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
- •Лекция № 7. Методы обработки экспериментальных данных План
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Сумма квадратов отклонений
- •7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена
- •7.5. Аппроксимация функцией произвольного вида
- •Лекция № 8. Преобразование Фурье
- •8.2. Эффект Гиббса
- •8.3. Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности
- •8.4. Быстрое преобразование Фурье
- •Лекция № 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений План
- •9.1. Основные сведения и определения
- •9.2. Метод Пикара
- •9.3. Метод Эйлера
- •9.4. Метод Рунге-Кутта
- •9.5. Средства пакета matlab для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Лекция № 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений План
9.1. Основные сведения и определения
9.2. Метод Пикара
9.3. Метод Эйлера
9.4. Метод Рунге-Кутта
9.5. Средства пакета MATLAB для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
9.1. Основные сведения и определения
Определение 9.1. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называют соотношение вида
. (9.1)
Определение 9.2. Дифференциальное уравнение вида
, (9.2)
где заданная функция двух переменных, называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Определение 9.3. Решением дифференциального уравнения на интервале I называется непрерывно дифференцируемая функция , превращающая уравнение в тождество наI.
Для дифференциального уравнения первого порядка (9.1), (9.2), по определению получаем
, (9.3)
. (9.4)
Определение 9.4. Соотношение (9.3) называется решением уравнения (9.4) в неявной форме (или интегралом уравнения (9.2)), если оно определяет y как функцию от x: , которая есть решение уравнения (9.2).
Определение 9.5. График решения уравнения (9.2) называется интегральной кривой данного уравнения.
Определение 9.6. Проекция графика решения на ось ординат называется фазовой кривой или траекторией дифференциального уравнения.
Определение 9.7. Задача о нахождении решения уравнения (9.2), удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши.
Определение 9.8. Через каждую точку из области определения уравнения (9.2) проведем прямую, тангенс угла которой к оси абсцисс равен. Данное семейство прямых называетсяполем направлений, соответствующим уравнению (9.2) (или полем направлений функции ).
Интегральная кривая в каждой своей точке касается поля направлений функции .
Существование и единственности задачи Коши дифференциального уравнения (9.1), (9.2) обеспечивается теоремой Пикара.
Теорема Пикара. Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G, определяемой неравенствами
(9.5)
и удовлетворяет в этой области условию Липшица по y:
, (9.6)
то на некотором отрезке , гдеh положительное число, существует, и притом только одно решение уравнения (9.2), удовлетворяющее начальному условию.
Здесь M константа Липшица, зависящая в общем случае от а и b. Если имеет вG, ограниченную производную , то приможно принять
. (9.7)
Определение 9.9. Дифференциальным уравнением n-го порядка называют соотношение вида
=0, (9.8)
x независимая переменная, неизвестная функция аргументаx, заданная функция переменных .
Определение 9.10. Задача о нахождении решения уравнения (9.8), удовлетворяющего начальным условиям
, , …,, (9.9)
где , …, заданные числа, называется задачей Коши для системы дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение n-го порядка заменой
,
, (9.10)
…
сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка:
,
,
… (9.11)
.
Например, уравнение второго порядка
(9.12)
можно записать в виде двух уравнений
,
. (9.13)
Методы решений дифференциальных уравнений подразделяются на три основные группы:
1. Аналитические методы решения.
2. Графические методы.
3. Численные методы.