3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета matlab

Для решения систем линейных уравнений и связанных с ними матричных операций применяются операторы: сложения (+), вычитания (), умножения (*), деления справа (/), деления слева (\), возведения в степень (^), транспонирования (), действие которых определяется правилами линейной алгебры.

Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

. (3.61)

Система уравнений (1) в матричной форме представляется следующим образом:

АХ = В, (3.62)

где А – квадратная матрица коэффициентов, размером n  n строк и столбцов;

Х – вектор-столбец неизвестных;

В – вектор-столбец правых частей.

Систему уравнений (2) можно решить различными методами. Один из наиболее простых и эффективных методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Алгоритм метода основан на приведении матрицы А к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невырожденными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.

Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а ее определитель не близок к нулю, то метод Гаусса не пригоден для решения больших систем уравнений.

В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения систем уравнений (2). Для этого применяются следующие операторы

/	 правое деление;
\	 левое деление;
 - 1	 возведение в степень –1;
inv(A)	 обращение матрицы А.

Выражения

Х=В’/A’

Х=В’* (А^  1)’

Х=В’* inv(A’)

Х=A\В

дают решения ряда систем линейных уравнений АХ = В, где А – матрица размером m  n, В – матрица размером m  к. Более сложные случаи решения систем уравнений (2) с плохо обусловленной матрицей А требуют применения специальных методов решения.

Для решения системы линейных уравнений вида

Ax=b,

где A  матрица коэффициентов при неизвестных, x  вектор-столбец неизвестных, b  вектор-столбец свободных членов, в пакете MATLAB достаточно выполнить следующую команду:

>> A^-1*b

Пример 1.

Решить систему 4-х линейных уравнений:

Протокол программы (в скрипт-файле)

a= [1.1161 0.1397 0.1254 0.1490 ;

0.1582 0.1768 1.1675 0.1871 ;

0.1968 1.2168 0.2071 0.2271 ;

0.2368 0.2568 0.2471 1.2671] ;

b= [1.5471 ; 1.6471 ; 1.7471 ; 1.8471] ;

Х4 = а \ b

Рис.1 Скрипт-файл решения СЛАУ с помощью оператора Х=A\В

в окне редактора-отладчика

Эта программа выдает решение заданной системы с помощью четвертого оператора в виде матрицы – столбца

Х4=

1.0406

0.9351

0.9870

0.8813

X1 = b’/a’

X2 = b’*(a^-1)’

X3 = b’*inv(a’)

Результаты решения

X1 =

1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

X2 =

1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

X3 =

1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

Отметим, что сравнение скорости решения системы линейных уравнений с помощью средств матричной алгебры пакета MATLAB и функции Zeidel( ), листинг которой приведен в предыдущем разделе свидетельствует о неоспоримом преимуществе первых.

Данное обстоятельство обусловлено тем, что в пакете MATLAB, который изначально разрабатывался для проведения матричных вычислений, используются специальные быстрые алгоритмы для выполнения арифметических операций с матрицами. Поэтому при решении каких-либо прикладных задач, в ходе которого возникает необходимость решения систем линейных уравнений, целесообразнее использовать встроенные возможности пакета MATLAB.